第1题
设 $\displaystyle x, y, z \in[0,1]$ ，求证：$\displaystyle \frac{1-x}{3-y-z}+\frac{1-y}{3-z-x}+\frac{1-z}{3-x-y} \leq 1-x y z$ 。
第2题
已知正数 $\displaystyle a, b$ 满足：方程 $\displaystyle x^{2}+a x+15 b=0$ 和 $\displaystyle x^{2}+15 b x+a=0$ 均有实根，求 $\displaystyle \frac{a^{2}}{4}+9 b^{2}$ 的最小值。 （13分）
第3题
已知实数 $\displaystyle x_{i}(i=1,2,3)$ ，满足 $\displaystyle 0 \leq x_{i} \leq 1$ ，求证：$\displaystyle \frac{1-x_{1}}{3-x_{2}-x_{3}}+\frac{1-x_{2}}{3-x_{1}-x_{3}}+\frac{1-x_{3}}{3-x_{1}-x_{2}} \leq 1-x_{1} x_{2} x_{3}$ 。 （13 分）
第4题
假设 $\displaystyle n$ 为偶数，$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 为互不相同的整数，考虑多项式 $\displaystyle f(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right)+1$ （1）求证：当 $\displaystyle n \geq 6$ 时，$\displaystyle f(x)$ 不能写成两个次数小于 $\displaystyle n$ 的整系数多项式乘积； （2）请举例说明，当 $\displaystyle n=2$ 和 $\displaystyle n=4$ 时（1）中结论不成立。（14 分）