第1题
证明：当 n 为自然数且 $\displaystyle \mathrm{n}\gt 1$ 时，$\displaystyle \left(\frac{n+1}{3}\right)^{n}\lt \mathrm{n}!\lt \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}$ 。
第2题
$\displaystyle \alpha, \beta \in(0, \pi), \cos \alpha+\cos \beta-\cos (\alpha+\beta)=\frac{3}{2}$ ，求 $\displaystyle \alpha, \beta$ 所有取值。
第3题
$\displaystyle \mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}$ 是方程 $\displaystyle \mathrm{x}^{3}-7 \mathrm{x}^{2}+7 \mathrm{x}-1=0$ 的两个无理根，若 $\displaystyle \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{x_{1}{ }^{n}+x_{2}{ }^{n}}{2}, \mathrm{n}=0,1,2 \ldots$ （1）证明 $\displaystyle a_{n}$ 是整数； （2）求 $\displaystyle \mathrm{a}_{2022}$ 的个位数字。