📝 上海交通大学 2026年数学分析真题
第1题
1．计算下列极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\cos x-\cos x \cos (2 x)-\sqrt[3]{\cos x}}{\ln (1-x)+\ln (1+x)}
$$
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\cos x-\cos x \cos (2 x)-\sqrt[3]{\cos x}}{\ln (1-x)+\ln (1+x)}
$$
第2题
2．设 $\displaystyle u(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上具有二阶连续偏导数，并且满足
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0
$$
若 $\displaystyle u(x, 2 x)=x, u_{x}^{\prime}(x, 2 x)=x^{2}$ ，求 $\displaystyle u_{x x}^{\prime \prime}(x, 2 x), u_{x y}^{\prime \prime}(x, 2 x), u_{y y}^{\prime \prime}(x, 2 x)$ ．
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0
$$
若 $\displaystyle u(x, 2 x)=x, u_{x}^{\prime}(x, 2 x)=x^{2}$ ，求 $\displaystyle u_{x x}^{\prime \prime}(x, 2 x), u_{x y}^{\prime \prime}(x, 2 x), u_{y y}^{\prime \prime}(x, 2 x)$ ．
第3题
3．设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 是 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}$ 上的黎曼可积函数，$\displaystyle p \in \mathbb{R}$ ，若 $\displaystyle |f(x, y, z)|$ 在原点附近有正下界，试求广义积分
$$
I=\iiint_{\Omega} \frac{f(x, y, z) \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{p}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$
收敛时 $p$ 的取值范围．
$$
I=\iiint_{\Omega} \frac{f(x, y, z) \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{p}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$
收敛时 $p$ 的取值范围．
第4题
4．设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上有二阶连续导数，$\displaystyle f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0) \neq 0$ ，且 $\displaystyle 0<f(x)<x, x \in(0, a)$ ，任取 $\displaystyle x_{1} \in(0, a)$ ，令 $\displaystyle x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 都收敛。
第5题
5．证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上有定义，并且满足：$\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, \exists \delta_{x}>0$ ，当 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in\left(x-\delta_{x}, x+\delta_{x}\right)$ 且 $\displaystyle x_{1}<x<x_{2}$时，必有 $\displaystyle f\left(x_{1}\right)>f(x)>f\left(x_{2}\right)$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上是严格单调减少函数．
第6题
6．设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致连续函数，$\displaystyle \left\{\lambda_{n}\right\}$ 是正数列，若对任意固定的 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ ，有
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x+\lambda_{n}\right)=0
$$
证明：函数列 $\displaystyle \left\{f\left(x+\lambda_{n}\right)\right\}$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b](a>0)$ 上一致收玫于零．
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x+\lambda_{n}\right)=0
$$
证明：函数列 $\displaystyle \left\{f\left(x+\lambda_{n}\right)\right\}$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b](a>0)$ 上一致收玫于零．
第7题
7．设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上有界的连续函数，若存在正常数 $a$ ，使得
$$
f(x)+a \int_{x-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t
$$
为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的常值函数，证明：$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的常值函数．
$$
f(x)+a \int_{x-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t
$$
为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的常值函数，证明：$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的常值函数．