📝 东南大学 2025年高等代数真题
第1题
1．设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 的各元素的代数余子式之和为 1 ，求
$$
\left|\begin{array}{lll}
1+a_{11} & 1+a_{12} & 1+a_{13} \\
1+a_{21} & 1+a_{22} & 1+a_{23} \\
1+a_{31} & 1+a_{32} & 1+a_{33}
\end{array}\right|
$$
$$
\left|\begin{array}{lll}
1+a_{11} & 1+a_{12} & 1+a_{13} \\
1+a_{21} & 1+a_{22} & 1+a_{23} \\
1+a_{31} & 1+a_{32} & 1+a_{33}
\end{array}\right|
$$
第2题
2．多项式 $\displaystyle f(x)$ 无重因式，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的微商，$A$ 是 3 阶方阵，求
$$
r\binom{f(A)}{f^{\prime}(A)}
$$
$$
r\binom{f(A)}{f^{\prime}(A)}
$$
第3题
3．设
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
a & * & * \\
* & 3 & * \\
* & * & 2
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}
* & * & * \\
* & * & c \\
* & * & *
\end{array}\right) .
$$
（1）求 $A$ 的若尔当标准形与不变因子．
（2）$A$ 与 $B$ 何时相似？
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
a & * & * \\
* & 3 & * \\
* & * & 2
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}
* & * & * \\
* & * & c \\
* & * & *
\end{array}\right) .
$$
（1）求 $A$ 的若尔当标准形与不变因子．
（2）$A$ 与 $B$ 何时相似？
第4题
4．$n$ 维欧氏空间 $V$ 上的变换 $f$ 满足对任意的 $\displaystyle \alpha \in V$ ，有
$$
f(\alpha)=a \alpha-b(\alpha, \eta) \eta,\|\eta\|=\sqrt{3}
$$
$\displaystyle a, b$ 取何值时，$f$ 是正交变换？
$$
f(\alpha)=a \alpha-b(\alpha, \eta) \eta,\|\eta\|=\sqrt{3}
$$
$\displaystyle a, b$ 取何值时，$f$ 是正交变换？
第5题
5．$n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle (A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$ ．
（1）证明：$\displaystyle |A+B|^{2}=|A||B|$ ．
（2）$\displaystyle A, B$ 是实矩阵，证明：$\displaystyle |A|=|B|$ ．
（3）$\displaystyle A, B$ 是复矩阵，$\displaystyle |A|=|B|$ 是否成立？
（1）证明：$\displaystyle |A+B|^{2}=|A||B|$ ．
（2）$\displaystyle A, B$ 是实矩阵，证明：$\displaystyle |A|=|B|$ ．
（3）$\displaystyle A, B$ 是复矩阵，$\displaystyle |A|=|B|$ 是否成立？
第6题
6．$n$ 阶方阵 $A$ 满足 $\displaystyle A_{11} \neq 0, b$ 是 $n$ 维非零向量，证明：$\displaystyle A X=0$ 有无穷解的充要条件是 $\displaystyle A^{*} X=b$ 有解．
第7题
7．$A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵．
（1）存在矩阵 $B$ 满足 $\displaystyle A B A=A, B A B=B$ ．
（2）若 $B$ 满足 $\displaystyle A B A=A$ 且 $\displaystyle B A B=B, K(A)=\left\{A X=0 \mid X \in P^{n}\right\}, R(B)=\left\{B Y \mid Y \in P^{m}\right\}$ ，证明：
$$
P^{n}=K(A) \oplus R(B)
$$
（1）存在矩阵 $B$ 满足 $\displaystyle A B A=A, B A B=B$ ．
（2）若 $B$ 满足 $\displaystyle A B A=A$ 且 $\displaystyle B A B=B, K(A)=\left\{A X=0 \mid X \in P^{n}\right\}, R(B)=\left\{B Y \mid Y \in P^{m}\right\}$ ，证明：
$$
P^{n}=K(A) \oplus R(B)
$$
第8题
8．$\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶方阵。
（1） $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)$ 是否等于 $\displaystyle \operatorname{tr}(B A)$ ？
（2）$\displaystyle A, B, A-B$ 正定，证明： $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}-B^{2}\right)>0$ ．
（1） $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)$ 是否等于 $\displaystyle \operatorname{tr}(B A)$ ？
（2）$\displaystyle A, B, A-B$ 正定，证明： $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}-B^{2}\right)>0$ ．