📝 中国人民大学 2026年数学分析真题

1．（15 分）讨论 $\displaystyle f(x)=\sin \sqrt{x}$ 和 $\displaystyle g(x)=\sin \left(x^{2}\right)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上是否一致连续．

2．（15 分）设 $\displaystyle a_{n}>0, n=1,2, \cdots$ ，且 $\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<+\infty$ ，证明：$\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}} \leq \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ ．

3．（15 分）证明：对任意的 $\displaystyle x \in[0,1]$ ，有 $\displaystyle 1+x^{2} \leq 2^{x}$ ．

4．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上周期为 $\displaystyle \pi$ 的函数，且在 $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上，有

$$
f(x)= \begin{cases}\frac{\pi}{2}+x, & x \in\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \\ \frac{\pi}{2}-x, & x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right)\end{cases}
$$

请将 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上展开为傅里叶级数，并由此求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}$ ．

5．（15 分）设对于任意的正整数 $\displaystyle n, f_{n}(x)$ 均为定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上的黎曼可积函数，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于函数 $\displaystyle f(x)$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上的黎曼可积函数．

6．（15 分）计算积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin \theta} \ln \frac{1+t \sin \theta}{1-t \sin \theta} \mathrm{~d} \theta,|t|<1$ ．

7．（ 15 分）设

$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y+x^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{cases}
$$

讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的连续性和可微性．又设 $\displaystyle x(t)=t, y(t)=t^{2}$ ，讨论复合函数 $\displaystyle f(x(t), y(t))$ 在 $\displaystyle t=0$的导数是否满足链式法则．

8．（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为定义在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 上的二元函数，在 $D$ 内对 $x$ 和 $y$ 具有直到二阶的连续偏导数，且 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right) \in D$ 是 $\displaystyle f(x, y)$ 的极小值点．证明：

$$
f_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)+2 f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)+f_{y y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \geq 0
$$

9．（15 分）设反常积分

$$
I=\iiint_{D} \frac{x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$

其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq x\right\}$ ．证明反常积分 $I$ 收玫，并求出 $I$ 的值．

10．（15 分）设 $D$ 是平面区域，$\displaystyle u(x, y)$ 为定义在 $D$ 上的二元函数，且在 $D$ 内对 $x$ 和 $y$ 具有直到二阶的连续偏导数。证明：$\displaystyle u(x, y)$ 在 $D$ 上满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ 的充要条件为对于任意 $D$ 内的圆周 $L$ ，且 $L$ 所围圆 $O$ 含于 $D$ ，有 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s=0$ ，其中 $n$ 取圆周 $L$ 的外法向．