📝 华中科技大学 2025年高等代数真题

1．（15 分）计算行列式 $\displaystyle D=\left|\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2021 & 2022 & 2023 & 2024 & 2025 \\ 2021^{2} & 2022^{2} & 2023^{2} & 2024^{2} & 2025^{2} \\ 2021^{3} & 2022^{3} & 2023^{3} & 2024^{3} & 2025^{3} \\ 2021^{4} & 2022^{4} & 2023^{4} & 2024^{4} & 2025^{4}\end{array}\right|$ ．

2、（15 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}=(a, 2,10)^{T}, \alpha_{2}=(-2,1,5)^{T}, \alpha_{3}=(-1,1,4)^{T}$ ， $\displaystyle \alpha_{4}=(1, b, 2)^{T}$ ，当 $\displaystyle a, b$ 满足什么条件时：
（1）$\displaystyle \beta$ 不能表示为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的线性组合？
（2）$\displaystyle \beta$ 可以唯一地表示为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的线性表出？
（3）$\displaystyle \beta$ 可以以无穷多种方式表示为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的线性组合？写出所有的表示式．

3、（20分）设 $\displaystyle A, B, C, D$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle C D^{T}=D C^{T}$ ，证明：

$$
\left|\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right|=\left|A D^{T}-B C^{T}\right| .
$$

4、（20分）对于二阶矩阵 $\displaystyle A, B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, A \neq O$ ，若

$$
\left|A+B_{i}\right|=|A|+\left|B_{i}\right|, i=1,2,3,4 .
$$

证明：矩阵 $\displaystyle B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}$ 线性相关．

5、（20分）设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶实矩阵，证明：如果存在一个复可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使得

$$
P^{-1} A P=B,
$$

那么一定存在一个实可逆矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{-1} A Q=B$ ．

6、（20 分）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle r(A)=r(B)$ ，证明：$\displaystyle A^{2} B=A$ 的充要条件是 $\displaystyle B^{2} A=B$ ．

7、（20 分）设 $A$ 为实方阵，$\displaystyle A+A^{T}$ 为正定矩阵，但 $\displaystyle A \neq A^{T}$ ，证明：

$$
\left|A+A^{T}\right|<|2 A| .
$$

8、（20分）设 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 是欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中三个非零向量，已知它们两两正交，

记矩阵 $\displaystyle A=\alpha \beta^{T}+\beta \gamma^{T}+\gamma \alpha^{T}$ ．
（1）证明：$\displaystyle r(A)=3$ ．
（2）$A$ 是否可以相似对角化？请证明你的结论。