📝 南京师范大学 2012年高等代数真题

1、（本题满分 15 分）设对任意非负整数 $n$ ，令 $\displaystyle f_{n}(x)=x^{n+2}-(x+1)^{2 n+1}$ 。设多项式

$$
g(x)=f_{1}(x) f_{2}(x) \cdots f_{2012}(x) \text {, 证明: }\left(x^{2}+x+1, g(x)\right)=1 \text {. }
$$

2、（本题满分 15 分）设 $\displaystyle S_{k}=x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots+x_{n}^{k}, k=0,1,2, \cdots$ 。计算行列式

$$
d=\left|\begin{array}{ccccc}
S_{0} & S_{1} & \cdots & S_{n-2} & S_{n-1} \\
S_{1} & S_{2} & \cdots & S_{n-1} & S_{n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
S_{n-2} & S_{n-1} & \cdots & S_{2 n-4} & S_{2 n-3} \\
S_{n-1} & S_{n} & \cdots & S_{2 n-3} & S_{2 n-2}
\end{array}\right|
$$

3、（本题满分 20 分）解线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}+7 x_{5}=4, \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}-3 x_{5}=0, \\ x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=3, \\ 5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}-x_{5}=2 .\end{array}\right.$

4、（本题满分 20 分）设 $n$ 级实方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ，证明：$A$ 的秩等于 $\displaystyle a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}$ ．

5、（本题满分 20 分）求二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=5 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+6 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-10 x_{1} x_{3}-6 x_{2} x_{3}$ 的矩阵并判别该二次型是否正定．

6、（本题满分 20 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，令 $\displaystyle V=\{B \mid A B=B A, B$ 为实方阵 $\displaystyle \}$ 。（1）证明 $V$ 足实数域上的线性空间；（2）求 $V$ 的一组基．

7、（本题满分 20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，证明： $\displaystyle \sigma(V)$ 的一组基的原像及 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 的一组基合起来就是 $V$ 的一组基．

8、（本题满分 10 分）设 $n$ 级实方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 满足条件：（1）$\displaystyle a_{i i}>0, i=1,2, \cdots, \dot{n}$ ；（2） $\displaystyle a_{i j}<0, \quad 1 \leq i \neq j \leq n ; \quad$（3）$\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{i j}=0, \quad i=1,2, \cdots, n$ ．证明：$A$ 的秩为 $\displaystyle n-1$ ．

9、（本题满分 10 分）证明：在 $n$ 维欧氏空间中，至多有 $\displaystyle n+1$ 个向量使得其中任意两个向量之间的夹角均大于 $\displaystyle 90^{\circ}$ 。