📝 南京师范大学 2017年高等代数真题

1．（15分）已知 3 阶矩阵 $A$ 满足
$\displaystyle |A-E|=|A-2 E|=|A+E|=\lambda$ ，当 $\displaystyle \lambda=2$ 时，求行列式 $\displaystyle |A+3 E|$ 的值．

2．（15 分）设 $A$ 是一个 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，秩 $\displaystyle (A)=r$ ，在 $A$ 中任取 $s$ 个列向量作为列向量构成的矩阵为 $B$ 。
证明：秩 $\displaystyle (B) \geq r+s-m$ ．

3．（20分）设齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{c}
a x_{1}+b x_{2}+\cdots+b x_{n}=0 \\
b x_{1}+a x_{2}+\cdots+b x_{n}=0 \\
\vdots \\
b x_{1}+b x_{2}+\cdots+a x_{n}=0
\end{array}\right.
$$

其中 $\displaystyle a \neq 0, b \neq-0, n \geq 2$ ，试讨论 $\displaystyle a, b$ 为何值时，方程组仅有零解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出全部解（用基础解系表示）。

4．（20 分）已知矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 0 & 8\end{array}\right]$ ，且 $\displaystyle A B A^{-1}=B A^{-1}+3 E$ ，求矩阵 $B$ ．

5．（20分）设 $\displaystyle f(x)=x^{3 m}-x^{3 n+1}+x^{3 p+2}, g(x)=x^{2}-x+1$ ．其中 $\displaystyle m, n, p$ 为非负整数，
证明：$\displaystyle \quad g(x) \mid f(x) \Leftrightarrow m, n, p$ 具有相同的奇偶性．

6．（20 分）设线性空间 $V$ 的线性变换 $A$ 与 $B$ ，满足条件 $\displaystyle A^{2}=A, B^{2}=B, A B=B A=0$ ．
证明：$\displaystyle (A+B) V=A V \oplus B V$ ．

7．（20 分）设有限维线性空间 $V$ 的维数 $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ．证明：$V$ 的任意真子空间均可表为若干个 $\displaystyle n-1$ 维子空间的交．

8．（20 分）设 $n$ 元实二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\prime} A X$ 的秩为 $n$ ，正负惯性指数分别为 $\displaystyle p, q$ ，且 $\displaystyle p \geq q>0$ ．
证明：存在 $\displaystyle R^{n}$ 的 $q$ 维子空间 $W$ ，使 $\displaystyle \forall X_{0} \in W$ 都有 $\displaystyle f\left(X_{0}\right)=0$ ．