📝 南京师范大学 2019年高等代数真题
第1题
1．（15分）设 $n$ 是大于2的整数，计算行列式
$$
\left|\begin{array}{rrrrr}
1 & -1 & -1 & \cdots & -1 \\
-1 & 2 & -1 & \cdots & -1 \\
-1 & -1 & 3 & \cdots & -1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
-1 & -1 & -1 & \cdots & n
\end{array}\right| .
$$
$$
\left|\begin{array}{rrrrr}
1 & -1 & -1 & \cdots & -1 \\
-1 & 2 & -1 & \cdots & -1 \\
-1 & -1 & 3 & \cdots & -1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
-1 & -1 & -1 & \cdots & n
\end{array}\right| .
$$
第2题
2．（15 分）设
$$
A=\left(\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 0 & 1 \\
3 & 1 & 1 & 1 \\
3 & 0 & 1 & 0 \\
-3 & 0 & -1 & 1
\end{array}\right),
$$
求矩阵 $A$ 的逆矩阵 $\displaystyle A^{-1}$ 及伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ ．
$$
A=\left(\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 0 & 1 \\
3 & 1 & 1 & 1 \\
3 & 0 & 1 & 0 \\
-3 & 0 & -1 & 1
\end{array}\right),
$$
求矩阵 $A$ 的逆矩阵 $\displaystyle A^{-1}$ 及伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ ．
第3题
3．（20分）设 $\displaystyle \alpha_{1}=(0,3,2,1), \alpha_{2}=(2,1,0,-1), \beta_{1}=(1,0,-3,-6), \quad \beta_{2}=(1,0,1,2)$ ，
$\displaystyle V_{1}$ 是由向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 生成的子空间，$\displaystyle V_{2}$ 是由向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 生成的子空间，
（i）求 $\displaystyle V_{1}$ 与 $\displaystyle V_{2}$ 的交的一组基及维数；
（ii）求 $\displaystyle V_{1}$ 与 $\displaystyle V_{2}$ 的和的一组基及维数．
$\displaystyle V_{1}$ 是由向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 生成的子空间，$\displaystyle V_{2}$ 是由向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 生成的子空间，
（i）求 $\displaystyle V_{1}$ 与 $\displaystyle V_{2}$ 的交的一组基及维数；
（ii）求 $\displaystyle V_{1}$ 与 $\displaystyle V_{2}$ 的和的一组基及维数．
第4题
4．（20 分）设 $Q$ 为有理数域，$\displaystyle \alpha_{1}=(-1,1,3), \alpha_{2}=(0,1,1), \alpha_{3}=(2,0,3), Q^{3}$ 中线性变换 $A$ 满足：
$$
A \alpha_{1}=(-2,1,3), \quad A \alpha_{2}=(0,-1,0), \quad A \alpha_{3}=(-1,-1,0)
$$
（i）证明 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 $\displaystyle Q^{3}$ 的一组基；并求线性变换 $A$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵 $T$ ；
（ii）求 $\displaystyle Q^{3}$ 中线性变换 $A$ 的全部特征值与特征向量．
$$
A \alpha_{1}=(-2,1,3), \quad A \alpha_{2}=(0,-1,0), \quad A \alpha_{3}=(-1,-1,0)
$$
（i）证明 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 $\displaystyle Q^{3}$ 的一组基；并求线性变换 $A$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵 $T$ ；
（ii）求 $\displaystyle Q^{3}$ 中线性变换 $A$ 的全部特征值与特征向量．
第5题
5．（20 分）设 $\displaystyle X_{0}$ 是数域 $P$ 上线性方程组的一个解，$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{s}$ 是它的导出组的一个基础解系，令 $\displaystyle Y_{0}=X_{0}, Y_{1}=X_{1}+X_{0}, Y_{2}=X_{2}+X_{0}, \cdots, Y_{s}=X_{s}+X_{0}$ ，证明：该线性方程组的全部解可由下列公式给出：$\displaystyle X=k_{0} Y_{0}+k_{1} Y_{1}+\cdots+k_{s} Y_{s}$ ，其中 $\displaystyle k_{0}, k_{1}, \cdots, k_{s}$ 为数域 $P$ 中的数，$\displaystyle k_{0}+k_{1}+\cdots+k_{s}=1$ ．
第6题
6．（20分）设 $\displaystyle f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{p}, g_{1}, g_{2}, \cdots, g_{q}$ 均为 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的实系数的一次齐次式，
证明：二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+\cdots+f_{p}^{2}-g_{1}^{2}-g_{2}^{2}-\cdots-g_{q}^{2}
$$
的正惯性指数 $\displaystyle \leq p$ ．
证明：二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+\cdots+f_{p}^{2}-g_{1}^{2}-g_{2}^{2}-\cdots-g_{q}^{2}
$$
的正惯性指数 $\displaystyle \leq p$ ．
第7题
7．（20 分）多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}-x^{3}-4 x^{2}+4 x+1, g(x)=x^{2}-x-1$ ，
（i）求多项式 $\displaystyle u_{1}(x), v_{1}(x)$ 使得 $\displaystyle u_{1}(x) f(x)+v_{1}(x) g(x)=(f(x), g(x))$ ；
（ii）证明不存在次数相同的多项式 $\displaystyle u_{2}(x), v_{2}(x)$ 使得
$$
u_{2}(x) f(x)+v_{2}(x) g(x)=(f(x), g(x)) ;
$$
（iii）证明存在无穷多组多项式 $\displaystyle u_{3}(x), v_{3}(x), u_{3}(x)$ 的次数为 2019，使得
$$
u_{3}(x) f(x)+v_{3}(x) g(x)=(f(x), g(x))
$$
（i）求多项式 $\displaystyle u_{1}(x), v_{1}(x)$ 使得 $\displaystyle u_{1}(x) f(x)+v_{1}(x) g(x)=(f(x), g(x))$ ；
（ii）证明不存在次数相同的多项式 $\displaystyle u_{2}(x), v_{2}(x)$ 使得
$$
u_{2}(x) f(x)+v_{2}(x) g(x)=(f(x), g(x)) ;
$$
（iii）证明存在无穷多组多项式 $\displaystyle u_{3}(x), v_{3}(x), u_{3}(x)$ 的次数为 2019，使得
$$
u_{3}(x) f(x)+v_{3}(x) g(x)=(f(x), g(x))
$$
第8题
8．（20 分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，证明
（i）如果 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 的一组基，$\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2} \in V,\left(\gamma_{1}, \alpha_{i}\right)=\left(\gamma_{2}, \alpha_{i}\right), i=1,2, \cdots, n$ ，那么 $\displaystyle \gamma_{1}=\gamma_{2}$ ；
（ii）如果 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 的一组向量，满足：对于 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2} \in V$ ，只要 $\displaystyle \left(\gamma_{1}, \alpha_{i}\right)=\left(\gamma_{2}, \alpha_{i}\right), i=1,2, \cdots, n$ ，就有 $\displaystyle \gamma_{1}=\gamma_{2}$ ，那么 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 的一组基．
（i）如果 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 的一组基，$\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2} \in V,\left(\gamma_{1}, \alpha_{i}\right)=\left(\gamma_{2}, \alpha_{i}\right), i=1,2, \cdots, n$ ，那么 $\displaystyle \gamma_{1}=\gamma_{2}$ ；
（ii）如果 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 的一组向量，满足：对于 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2} \in V$ ，只要 $\displaystyle \left(\gamma_{1}, \alpha_{i}\right)=\left(\gamma_{2}, \alpha_{i}\right), i=1,2, \cdots, n$ ，就有 $\displaystyle \gamma_{1}=\gamma_{2}$ ，那么 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 的一组基．