📝 南昌大学 2025年高等代数真题
第1题
1、（15 分）设 $\displaystyle y \neq z$ ，计算 $n$ 阶行列式 $\displaystyle \left|D_{n}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}x_{1} & y & \cdots & y & y \\ z & x_{2} & \cdots & y & y \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ z & z & \cdots & x_{n-1} & y \\ z & z & \cdots & z & x_{n}\end{array}\right|$ ．
第2题
2、（15分）已知 $n$ 为奇数，证明：$\displaystyle (x+y)(y+z)(z+x)$ 整除
$$
(x+y+z)^{n}-x^{n}-y^{n}-z^{n} .
$$
$$
(x+y+z)^{n}-x^{n}-y^{n}-z^{n} .
$$
第3题
3．（15 分）已知方程组（I）：$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}7 x_{1}-6 x_{2}+3 x_{3}=b \\ 8 x_{1}-9 x_{2}+a x_{4}=7\end{array}\right.$ ，方程组（II）的通解为 $\displaystyle (1,1,0,0)^{T}+t_{1}(1,0,-1,0)^{T}+t_{2}(2,3,0,1)^{T}$ ，若方程组 $\displaystyle (I)$ 与方程组 （II）有无穷多公共解，求 $\displaystyle a, b$ 的值与公共解．
第4题
4、（15 分）已知 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶幂零矩阵， $\displaystyle \mathbf{B}$ 是 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶矩阵，且 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{B}+\mathbf{B} \mathbf{A}=\mathbf{B}$ ．求证： $\displaystyle \mathbf{B}=\mathbf{O}$ ．
第5题
5、（15分）设 $\displaystyle \mathbf{a} \neq \mathbf{0}$ ，求 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccccc}\mathbf{a} & \mathbf{a} & \mathbf{a} & \cdots & \mathbf{a} \\ \mathbf{0} & \mathbf{a} & \mathbf{a} & \cdots & \mathbf{a} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{a} & \cdots & \mathbf{a} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{a}\end{array}\right)$ 的 Jordan 标准型．
第6题
6．（15分）设 $V$ 是实数域上连续函数构成的实线性空间，证明：
$$
1, \cos x, \cos (2 x), \cdots, \cos (n x) .
$$
线性无关。
$$
1, \cos x, \cos (2 x), \cdots, \cos (n x) .
$$
线性无关。
第7题
7、（15 分）已知 $n$ 阶矩阵 $A$ 的全部特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ ，求 $\displaystyle 2 n$ 阶矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & A^{2} \\ A^{2} & A\end{array}\right)$ 的全部特征值．
第8题
8．（15分）已知 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 都是 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶矩阵，且满足
$$
A B=B A=O, r(A)=r\left(A^{2}\right) .
$$
证明：$\displaystyle r(A+B)=r(A)+r(B)$ ．
$$
A B=B A=O, r(A)=r\left(A^{2}\right) .
$$
证明：$\displaystyle r(A+B)=r(A)+r(B)$ ．
第9题
9、（15 分）已知 $\displaystyle J=J_{n}\left(\lambda_{0}\right)$ 是特征值 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的 $n$ 阶若尔当块，证明：和 $J$ 可乘法交换的 $n$ 阶矩阵必定可以表示为 $J$ 的次数不超过 $\displaystyle n-1$ 的多项式。
第10题
10、（15分）设 $\displaystyle f(x)=a_{m} x^{m}+a_{m-1} x^{m-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ 以 $n$ 阶矩阵 $A$ 为根，$\displaystyle a_{m}>\sum_{i=1}^{m-1}\left|a_{i}\right|$ ．证明：矩阵方程 $\displaystyle 2 X+A X=X A^{2}$ 只有零解．