📝 合肥工业大学 2025年高等代数真题
第1题
1、计算下列行列式的值 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}1-a_{1} & a_{2} & & & \\ -1 & 1-a_{2} & \ddots & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & a_{n} \\ & & & -1 & 1-a_{n}\end{array}\right|$ ．
第2题
2、已知 $\displaystyle A+B=A B$ ．
（1）证明 $\displaystyle A+E$ 可逆．并求 $\displaystyle (A+E)^{-1}$ ．
（2）证明 $\displaystyle A B=B A$ ．
（3）$\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}2 & & \\ & 1 & 2 \\ & -3 & 1\end{array}\right]$ ，求 $B$ ．
（1）证明 $\displaystyle A+E$ 可逆．并求 $\displaystyle (A+E)^{-1}$ ．
（2）证明 $\displaystyle A B=B A$ ．
（3）$\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}2 & & \\ & 1 & 2 \\ & -3 & 1\end{array}\right]$ ，求 $B$ ．
第3题
3、已知 $\displaystyle a, b \neq 0, n \geq 2$ ，判断下列齐次方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a x_{1}+b x_{2}+\cdots+b x_{n}=0 \\ b x_{1}+a x_{2}+\cdots+b x_{n}=0 \\ \cdots \\ b x_{1}+b x_{2}+\cdots+a x_{n}=0\end{array}\right.$ ．
（1）若方程组仅有零解，则 $\displaystyle a, b$ 应满足什么条件．
（2）若方程组有非零解，则 $\displaystyle a, b$ 应满足什么条件，并求通解．
（1）若方程组仅有零解，则 $\displaystyle a, b$ 应满足什么条件．
（2）若方程组有非零解，则 $\displaystyle a, b$ 应满足什么条件，并求通解．
第4题
4、已知二项式 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{n}, \cdots x_{n}\right)=a \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}+b \sum_{i=1}^{n} x_{i} x_{n+1-i}$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 都是实数，且 $\displaystyle n \geq 2$ ，试判断当二项式正定时 $\displaystyle a, b$ 应满足的条件．
第5题
5、已知矩阵的迹为 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ ，其中 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ．
（1）证明 $\displaystyle \operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B), \operatorname{tr}(k A)=\operatorname{tr}(A), \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)$ ，其中 $\displaystyle B=\left(b_{i j}\right)_{n \times n}$ ．
（2）空间 $\displaystyle U=\left\{B \in P^{n \times n} \mid \operatorname{tr}(B)=0\right\}$ ，试确定 $U$ 的维数，并求 $U$ 的一组基．
（1）证明 $\displaystyle \operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B), \operatorname{tr}(k A)=\operatorname{tr}(A), \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)$ ，其中 $\displaystyle B=\left(b_{i j}\right)_{n \times n}$ ．
（2）空间 $\displaystyle U=\left\{B \in P^{n \times n} \mid \operatorname{tr}(B)=0\right\}$ ，试确定 $U$ 的维数，并求 $U$ 的一组基．
第6题
6、已知 $\displaystyle f(x)=x^{3}+a x^{2}+3 x-1$ ，试确定 $a$ 的值，使得 $\displaystyle f(x)$ 有重根，并求重根及重数 $\displaystyle (a \in R)$ ．
第7题
7、已知 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，设 $\displaystyle M \in P^{n \times n}$ ，令 $\displaystyle A=f(M), B=g(M)$ 且设 $\displaystyle w, w_{1}, w_{2}$ 分别为 $\displaystyle A B x=0, A x=0, B x=0$ 的解空间，试证明 $\displaystyle w=w_{1} \otimes w_{2}$ ．
第8题
8、设 $V$ 是 $C$ 上的 2 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 是 $V$ 的一组基，线性变换中将 $C$ 降维到 $R$ ， $V$ 可视为 $R$ 上的线性空间记为 $\displaystyle V_{R}$ ，记 $\displaystyle \mathscr{N}_{R}$ 为 $\displaystyle \propto \mid V_{R}$ 上的线性变换．
（1）设 $\displaystyle \alpha_{3}=i \alpha_{1}, \partial_{4}=i \alpha_{2}, i^{2}=-1$ ，试证明 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是 $R$ 的一组基．
（2）若设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 下的矩阵 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right]$ ，且 $\displaystyle a_{i j}=O_{i j}+i V_{i j},(i, j=1,2)$ ，试求 $\displaystyle \mathscr{A}_{R}$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵。
（1）设 $\displaystyle \alpha_{3}=i \alpha_{1}, \partial_{4}=i \alpha_{2}, i^{2}=-1$ ，试证明 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是 $R$ 的一组基．
（2）若设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 下的矩阵 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right]$ ，且 $\displaystyle a_{i j}=O_{i j}+i V_{i j},(i, j=1,2)$ ，试求 $\displaystyle \mathscr{A}_{R}$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵。
第9题
9、（1）$\displaystyle A, B$ 是 3 阶复矩阵，$\displaystyle A, B$ 的特征多项式相同，最小多项式相同，试证 A与 B 相似。
（2）试举例（1）对 4 阶复矩阵不成立。
（2）试举例（1）对 4 阶复矩阵不成立。
第10题
10、已知 $\displaystyle \langle f(x), g(x)\rangle=\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) g\left(\frac{k}{n}\right), f(x) \in R_{n+1}[x]$ ．
（1）试证明 $\displaystyle \langle f(x), g(x)\rangle$ 构成欧氏空间的内积．
（2）试求与 $x$ 正交的所有一次多项式，在上述内积下．
（1）试证明 $\displaystyle \langle f(x), g(x)\rangle$ 构成欧氏空间的内积．
（2）试求与 $x$ 正交的所有一次多项式，在上述内积下．
第11题
11、已知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变化，试证 $\displaystyle \mathscr{A}^{2}=\mathscr{A} \Leftrightarrow V=\mathscr{N} \otimes \operatorname{ker} \mathscr{A}$ 。