📝 哈尔滨工业大学 2018年高等代数真题

1．求

$$
\left(\begin{array}{ccccc}
5 & -1 & -2 & -3 & -4 \\
1 & 5 & -1 & -2 & -3 \\
2 & 1 & 5 & -1 & -2 \\
3 & 2 & 1 & 5 & -1 \\
4 & 3 & 2 & 1 & 5
\end{array}\right)
$$

的伴随矩阵的所有元素之和．

2．设 $f(x)$ 为多项式，$k$ 为 $1,2,3,4, \cdots, f(k)=\sum_{m=1}^{k} m^{5}$ ，求 $f(-3)$ ．
3 ．求 $x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{4}+\cdots+x_{98} x_{99}$ 的正惯性指数．

4．已知 $x^{3}+3 x+a x=1$ 的三个根成等差数列，求 $a$ ．
5 ．求

$$
\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1
\end{array}\right)^{99}
$$

七．判断正误，并说明理由．

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & -1 & 0
\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc}
0 & x & y \\
-x & 0 & z \\
-y & -z & 0
\end{array}\right)
$$

是否存在正交矩阵 $P$ 使得 $\displaystyle A P=P B \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ ．

三．判断正误，并说明理由．
对任意非零向量，$\displaystyle \alpha^{\prime} A \alpha>\alpha^{\prime} \alpha$ ，则 $\displaystyle |A|>1$ ．

二．判断正误，并说明理由．
$\displaystyle A, B$ 为非零二阶复矩阵，$\displaystyle A B-B A=A^{2}, \operatorname{tr}(B)=0$ 则 $\displaystyle B^{2}=0$ ．

五．判断正误，并说明理由．
对任意 $a$ ，是否存在唯一 $\displaystyle b, c$ 使得 $\displaystyle x^{2}+a x+1 \mid x^{4}+x^{3}+c x+b$ ．

六．判断正误，并说明理由．
$\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $\displaystyle (A B)^{*}=B^{*} A^{*}$ ．

四．判断正误，并说明理由．
$\displaystyle A_{5 \times 4}$ 矩阵，则 $\displaystyle \mathrm{r}\left(E_{5}-A^{\prime} A\right)=\mathrm{r}\left(E_{4}-A A^{\prime}\right)+1$ ．