📝 哈尔滨工程大学 2025年数学分析真题

1、计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(\tan x)^{2}}\right)$ ．

2、证明：对任意的 $\displaystyle x>0$ ，有 $\displaystyle 0<\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}<1$ ．

3、讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{p}(\ln \ln n)^{q}}$ 的玫散性，其中 $\displaystyle p, q$ 为实数．

4、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，对 $\displaystyle \forall x, y \in R$ ，有 $\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)$ ．
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续．
（2）存在实数 $M$ ，使得 $\displaystyle |f(x)| \leq M|x|$ ．

5、求反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．

6、设 $\displaystyle u(x, y)=\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} A_{m n} \sin (m \pi x) \sin (n \pi y),\left(m, n \in \mathbb{N}_{+}\right)$满足： $\displaystyle u_{x x}^{\prime \prime}+u_{y y}^{\prime \prime}=x,(x, y) \in[0,1] \times[0,1]$ ，求 $\displaystyle A_{m n}$ ．

7、令函数 $f$ 为定义在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的连续函数，证明：对任意的 $\displaystyle \mathbf{x}, \mathbf{t}, \mathbf{u} \in \mathbf{R}^{+}$，有

$$
\int_{0}^{x} \mathrm{~d} v \int_{0}^{v} \mathrm{~d} u \int_{0}^{u} f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \int_{0}^{x}(x-t)^{2} f(t) \mathrm{d} t
$$

8、求 $\displaystyle f(x, y)=\left(x^{2}+2 y^{2}\right) e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}$ 上的最大值和最小值．

9、计算二重积分 $\displaystyle I=\iint_{x^{2}-x y+y^{2} \leq 2}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

10、设 $\displaystyle B(0,1)=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}$ 以及光滑单位向量场 $\displaystyle \vec{u}=(u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z))$ 满足 $\displaystyle u_{x}^{\prime}+v_{y}^{\prime}+w_{z}^{\prime}=0$ ，若还有

$$
(\vec{u} \cdot \vec{n})(x, y, z)=0,(\forall(x, y, z) \in \partial B(0,1))
$$

证明 $\displaystyle \iiint_{B(0,1)}[(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}] \cdot \vec{u} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ，其中 $\displaystyle \vec{u} \cdot \nabla=u \frac{\partial}{\partial x}+v \frac{\partial}{\partial y}+w \frac{\partial}{\partial z}$ ．