📝 太原理工大学 2026年数学分析真题
第1题
1．求极限
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n+2026}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n+\frac{2026}{2}}+\cdots+\frac{\sin \frac{n \pi}{n}}{n+\frac{2026}{n}}\right) .
$$
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n+2026}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n+\frac{2026}{2}}+\cdots+\frac{\sin \frac{n \pi}{n}}{n+\frac{2026}{n}}\right) .
$$
第2题
2．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\tan x)-\sin (\sin x)}{x^{2} \arctan 2 x}$ ．
第3题
3．计算不定积分 $\displaystyle \int \frac{\cos ^{2} x}{\left(a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
第4题
4．计算曲线 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)^{2}=x^{2}+y^{2}(a, b>0)$ 围成的平面图形的面积．
第5题
5．计算曲线积分
$$
\oint_{L}(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z .
$$
其中 $L$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 与 $\displaystyle x-y+z=1$ 的交线，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看是顺时针方向．
$$
\oint_{L}(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z .
$$
其中 $L$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 与 $\displaystyle x-y+z=1$ 的交线，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看是顺时针方向．
第6题
6．计算第二型曲面积分
$$
\iint_{S} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-4 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$
其中 $S$ 是 $\displaystyle x=5^{y}(0 \leq y \leq 1)$ 绕 $x$ 轴形成的曲面的外侧．
$$
\iint_{S} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-4 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$
其中 $S$ 是 $\displaystyle x=5^{y}(0 \leq y \leq 1)$ 绕 $x$ 轴形成的曲面的外侧．
第7题
7．计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ．
第8题
8．判断反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x \ln x}{x^{p}+1}(p>0)$ 的敛散性．
第9题
9．设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的函数，$\displaystyle f(x)=x(\pi-x), x \in[0, \pi]$ ．
（1）求 $\displaystyle f(x)$ 的余弦级数和正弦级数展开式．
（2）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2 n-1)^{3}}$ ．
（1）求 $\displaystyle f(x)$ 的余弦级数和正弦级数展开式．
（2）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2 n-1)^{3}}$ ．
第10题
10．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连终，令 $\displaystyle \varphi_{n}(x)=\left\{\begin{array}{ll}(1-x)^{n}, & 0 \leq x \leq 1 ; \\ (1+x)^{n}, & -1 \leq x \leq 0 .\end{array}\right.$ 证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=f(0)
$$
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=f(0)
$$
第11题
11．数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{0}=1, a_{1}=1, a_{n}=a_{n-1}+2 a_{n-2}(n \geq 2)$ ．
（1）证明：$\displaystyle \left(\frac{5}{3}\right)^{n-1} \leq a_{n} \leq 3^{n-1}$ ．
（2）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln a_{n}}$ 发散，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收敛。
（3）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}}$ 存在，求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径以及收玫区间内的和函数．
（1）证明：$\displaystyle \left(\frac{5}{3}\right)^{n-1} \leq a_{n} \leq 3^{n-1}$ ．
（2）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln a_{n}}$ 发散，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收敛。
（3）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}}$ 存在，求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径以及收玫区间内的和函数．
第12题
12．解答如下问题：
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都是凸函数，$\displaystyle f(x) g(x)$ 和 $\displaystyle f(g(x))$ 是否是凸函数？若不是，给出反例．对于 $\displaystyle f(g(x))$ ，如何加一个充分条件，使之成为凸函数？给出证明．
（2）证明：实数域上的有界凸函数必是常值函数．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都是凸函数，$\displaystyle f(x) g(x)$ 和 $\displaystyle f(g(x))$ 是否是凸函数？若不是，给出反例．对于 $\displaystyle f(g(x))$ ，如何加一个充分条件，使之成为凸函数？给出证明．
（2）证明：实数域上的有界凸函数必是常值函数．