📝 山西师范大学 2024年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[(n+1)^{\alpha}-n^{\alpha}\right], 0<\alpha<1$ ．

2．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots+a_{n}^{x}}{n}\right)^{\frac{n}{x}}, \quad a_{i}>0, i=1,2, \cdots, n$ ．

3．$\displaystyle F(x)=\int_{-1}^{x} \sqrt{|t|} \ln |t| d t$ ，求 $\displaystyle F^{\prime}(x)$ ．

4．求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{d x}{1+\sin ^{2} x}$ ．

5．$\displaystyle y^{2}+f\left(x^{2}, z\right)=1$ 能确定隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ，且 $\displaystyle f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$.

6．求曲面积分 $\displaystyle \oiint_{S} \frac{e^{\sqrt{z}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d x d y, \quad S$ 是由曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 与 $\displaystyle z=1, z=2$ 所围立体表面的外侧．

7．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，$\displaystyle f(0)=f(1)$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[0,1]$ ，使得 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}+\frac{1}{2}\right)$

8．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，$\displaystyle f_{+}^{\prime}(a) f_{-}^{\prime}(b)<0$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．

9．$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{q}, x=\frac{p}{q}, p, q \in N, \frac{p}{q} \text { 为既约分数 } \\ 0, x \text { 为 }(0,1) \text { 中的无理数 }\end{array}\right.$ ．证明：$\displaystyle \forall x_{0} \in(0,1), \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0$ ．

10．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) d x$ 绝对收敛且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f^{\prime}(x) d x$ 收敛，证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) d x$ 收敛。

11．设级数满足加括号后级数 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\left(u_{3 k+1}+u_{3 k+2}+u_{3 k+3}\right)$ 收玫，且在同一个括号中，各项符号相同．证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 也收玫。

12．$\displaystyle f_{n}(x), n=1,2, \cdots$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数列，且 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上无零点，则当 $n$ 充分大时，$\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上也无零点，且有 $\displaystyle \frac{1}{f_{n}(x)}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle \frac{1}{f(x)}$ ．

13．设 $\displaystyle f\left(x_{n}, v_{n}\right)$ 存在，$\displaystyle f(x, v)$ 在 $\displaystyle \left(x, v_{n}\right)$ 连续，证明 $\displaystyle f(x . v)$ 在 $\displaystyle \left(x_{n}, v_{n}\right)$ 可微。