📝 河南大学 2026年数学分析真题

1．计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}(\tan x)^{\frac{1}{\cos x-\sin x}}$ ．

2．计算积分 $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．

3．计算积分 $\displaystyle \iint_{D} x[1+y f(|x y|)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $D$ 为 $\displaystyle y=x^{3}, x=-1, y=1$ 围成的封闭区域且函数 $\displaystyle f(u)$ 连续．

4．计算曲线积分

$$
I=\int_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(3 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z
$$

其中 $\displaystyle L:\left\{\begin{array}{l}x+y+z=2 \\ x^{2}+y^{2}=1\end{array}\right.$ 从 $z$ 轴正向看为逆时针．

5．数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 是否收玫．

6．求函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}-2 x-4 y$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 9\right\}$ 上的最值．

7．设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，证明：可以作适当的线性变换 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=x+a y \\ v=x+b y\end{array}\right.$ 可以将方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+4 \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}+3 \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0$ 化为 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v}=0$.

8．讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致收敛性．

9．证明不等式 $\displaystyle \frac{1}{1+x}<\ln (1+x)<\frac{x}{\sqrt{1+x}}, x>0$ ．

10．设函数 $\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle B=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1\right\}$ 上有二阶连续偏导数且 $\displaystyle \Delta f \equiv 0$ 证明 $\displaystyle \iiint_{B}\left(x f_{x}+y f_{y}+z f_{z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．

11．设连续函数 $\displaystyle f:(a, b) \rightarrow(a, b)$ ，存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ 成立 $\displaystyle |f(x)-c|<|x-c|, x \in(a, b) \backslash\{c\}$证明：对于任意的 $\displaystyle x_{1} \in(a, b)$ ，由递推关系 $\displaystyle x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)$ 确定的数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫。