📝 湖南大学 2024年高等代数真题

1．设 $\displaystyle f(x)=(x+1)^{2024}-x^{2024}-1$ ．
（1）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（2）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的所有复数根及在复数域和实数上的不可约因式分解．
（3）判断 $\displaystyle f(x)$ 是否有重根，并说明理由．

2．判断题．正确的请简要证明，错误的请举出反例．
（1）已知 $\displaystyle V=W_{1} \oplus W_{2}$ ，则对任意的 $\displaystyle \alpha \in V$ ，有 $\displaystyle \alpha \in W_{1}$ 或 $\displaystyle \alpha \in W_{2}$ ．
（2）多项式 $\displaystyle p(x)$ 在数域 $K$ 上不可约，则 $\displaystyle p\left(x^{2}\right)$ 在数域 $K$ 上也不可约．
（3）$n$ 为偶数，则存在 $\displaystyle A, B \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ ，满足对任意的 $\displaystyle 0 \neq \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，都有 $\displaystyle A \alpha, B \alpha$ 线性无关．

3．设 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & -1 & & & \\ & 1 & -1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 1 & -1 \\ & & & & 1\end{array}\right)$ ．求 $\displaystyle A^{-1}$ ．

4．记 $\displaystyle N(A)=\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \lambda A$ 和 $A$ 相似 $\displaystyle \}$ ．
（1）$\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle N(A)$ ．
（2）$A$ 不是幂零矩阵，证明：$\displaystyle N(A)$ 为有限集．

5．已知 $V$ 为有限维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的线性变换．
（1）证明： $\displaystyle \operatorname{dim} V=\operatorname{dim} \operatorname{Ker} \mathscr{A}+\operatorname{dim} \operatorname{Im} \mathscr{A}$ ．
（2）证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 可逆的充要条件是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为单射．
（3）举例说明 $V$ 为无限维线性空间时，（2）不成立．

6．设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵，证明 $\displaystyle r(A)=r$ 的充要条件是：存在两个线性无关的向量组

$$
\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} \in K^{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r} \in K^{n} .
$$

使得

$$
A=\alpha_{1} \beta_{1}^{T}+\alpha_{2} \beta_{2}^{T}+\cdots+\alpha_{r} \beta_{r}^{T}
$$

7．设 $A$ 为复数域上的 $n$ 阶可逆矩阵，$\displaystyle A^{2}$ 在复数域上可相似对角化，证明：$A$ 在复数域上可相似对角化．

8．设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 为 3 阶实正定对称矩阵，且 $\displaystyle a_{i j} \in\{-1,0,1\}$ ，求矩阵 $A$ ，并证明你的结论．