📝 福州大学 2026年数学分析真题

一．（20 分）计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{e^{-\frac{(x-1)^{2}}{2}}-\cos (x-1)}{(x-1)^{2} \sqrt{2 x-x^{2}}}$ ．

七．（25 分）讨论函数 $\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\cos x^{2}}{x^{\alpha}}$ 在 $\displaystyle \alpha \in(-1,1)$ 的连续性．

三．（20分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

二．（20分）证明闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数 $\displaystyle f(x)$ 存在最大值和最小值．

五．（20 分）计算由曲线 $\displaystyle y^{3}=x, y^{3}=2 x$ 以及 $\displaystyle x y=1, x y=2$ 所围区域在第一象限部分的面积．

六．（25 分）计算单位时间内不可压缩流体（密度为 1 ）以速度 $\displaystyle \mathbf{v}=x^{2} \mathbf{i}+y^{2} \mathbf{j}+z^{2} \mathbf{k}$ 流过曲面 $\displaystyle \Sigma$ 的流量，其中 $\displaystyle \Sigma: x^{2}+y^{2}=z^{2}, 0 \leq z \leq 1$ ，指向下侧．

四．（20 分）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫域与和函数，其中 $\displaystyle a_{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}$ ．