📝 西南交通大学 2026年高等代数真题

1、设 $\displaystyle \mathscr{A}(\alpha)=\alpha-k(\alpha, \varepsilon) \varepsilon, k$ 为常数，$\displaystyle \varepsilon$ 为单位列问量，若 $\displaystyle \Omega$ 是正交变换，求 $\displaystyle k=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

2、设在数域 $\displaystyle \{\sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ 上的最小线性空间维数 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

3、 $A$ 为正定阵，在条件 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$ 下，二次型 $\displaystyle \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) A\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ 最大值最小值为 4,1 ，且 $\displaystyle |A|=8$ ，求 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

4、 $\displaystyle f(x)=x^{3}+2 x^{2}-2, g(x)=x^{2}+x-1$ ，若 $\displaystyle a, b, c$ 为 $\displaystyle f(x)$ 根，$\displaystyle g(a), g(b), g(c)$ 是 $\displaystyle h(x)$根，求 $\displaystyle h(x)$ ．

5、以 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & a & b \\ -1 & 0 & c & d \\ a & c & 0 & -e \\ b & a & e & 0\end{array}\right)$ 为系数阵的方程组，若以 $\displaystyle x_{3}, x_{y}$ 为自由量，则 $\displaystyle a b c d e$ 关系为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6、设 $\displaystyle A=\beta \alpha^{\top}$ ，且 $\displaystyle \alpha^{\top} \beta=0$ ，求 $A$ 的特征值和特征子空间的一组基．

7、设 3 阶实对称阵 $A$ 有特征值 $\displaystyle 1,2,2,1$ 对应 $\displaystyle (1,1,1)^{T}$ ，求 $\displaystyle A^{3}$ ．

8、设 $\displaystyle A, B \in M_{2}(R)$ 且 $\displaystyle (A, B)=\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2} a_{i j} b_{i j}$ ，取 $\displaystyle A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，令 $\displaystyle W=L\left(A_{1}, A_{2}\right)$ ，求 $\displaystyle W^{1}$ 的一组标正基．

9、设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4\end{array}\right)$ ．
（1）求 Jordan标准形．
（2）求 $\displaystyle B, C$ 使得 $\displaystyle A=B+C, B$ 为幂零阵，$C$ 为可对角化阵．

10、设 $\displaystyle f(x)=x^{5}+m x+1$ ，求 $m$ 使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $Q$ 上可约．

11、若 $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1} \geq \frac{\eta}{2}$ ，证明：存在 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 使得 $\displaystyle V=V_{1} \oplus W_{1}=V_{1} \oplus W_{2}$ ，且 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}=\{0\}$ ．

12、若 $\displaystyle A, B$ 为正交阵．
（1）若 $\displaystyle |A|+|B|=0$ ，证 $\displaystyle |A+B|=0$ ．
（2）若 $n$ 为奇数，$\displaystyle |(A-B)(A+B)|=0$ ．

13、 $A$ 有不同特征值，$\displaystyle A B=B A$ ，证明：存在 $f$ 使 $\displaystyle B=f(A)$ ．

14、若 $A$ 半正定，$B$ 正定，证明：$\displaystyle |A+B| \geqslant|B|$ ，等号成立 $\displaystyle \Leftrightarrow A=0$ ．