📝 陕西师范大学 2024年数学分析真题
第1题
1．（15 分）判断对错并说明理由（正确的给出证明，错误的给出反例）．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 均存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续且有界，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 均存在．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 均存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续且有界，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 均存在．
第2题
2．（15 分）数列
$$
a_{1}=2, a_{2}=2+\frac{1}{2}, a_{3}=2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}, a_{4}=2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}, \cdots
$$
问数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是否收敛？说明理由．
$$
a_{1}=2, a_{2}=2+\frac{1}{2}, a_{3}=2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}, a_{4}=2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}, \cdots
$$
问数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是否收敛？说明理由．
第3题
3．（15 分）已知
$$
f(x)= \begin{cases}(x-1)^{3} \cos \frac{1}{x}, & x<1 \\ a, & x=1 \\ e^{b(x-1)}+c, & x>1\end{cases}
$$
问：$\displaystyle a, b, c$ 为何值时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 处可导，并计算 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ ．
$$
f(x)= \begin{cases}(x-1)^{3} \cos \frac{1}{x}, & x<1 \\ a, & x=1 \\ e^{b(x-1)}+c, & x>1\end{cases}
$$
问：$\displaystyle a, b, c$ 为何值时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 处可导，并计算 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ ．
第4题
4．（15 分）已知 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x+2 y+3 z=e^{z}$ 确定的隐函数，计算 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}$ ．
第5题
5．（15 分）求抛物线 $\displaystyle y^{2}=p x, y^{2}=q x(0<p<q)$ 及双曲线 $\displaystyle x y=a, x y=b(0<a<b)$ 所围成区域 $D$ 的面积．
第6题
6．（15 分）计算
$$
\iint_{\Sigma} \frac{(x+y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+2 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
$$
其中 $\displaystyle \Sigma$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 的外侧．
$$
\iint_{\Sigma} \frac{(x+y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+2 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
$$
其中 $\displaystyle \Sigma$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 的外侧．
第7题
7．（15 分）设 $f$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，且对任意的 $\displaystyle x, y \in[a, b]$ ，有 $\displaystyle |f(x)-f(y)| \leq 2(x-y)^{2}$ ，证明：$\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle [a, b]$ 上为常值函数．
第8题
8．（15 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n+1)}{n} x^{n}$ 的收敛域．
第9题
9．（15 分）设三元函数 $\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle D=\{(x, y, z) \mid x+y+z \leq 1\}$ 上可微，且 $\displaystyle \forall(x, y, z) \in D$ ，有
$$
\left|f_{x}(x, y, z)\right| \leq 1,\left|f_{y}(x, y, z)\right| \leq 2,\left|f_{z}(x, y, z)\right| \leq 3
$$
证明：$\displaystyle \forall\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) \in D$ ，有
$$
\left|f\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)-f\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)\right| \leq\left|x_{2}-x_{1}\right|+2\left|y_{2}-y_{1}\right|+3\left|z_{2}-z_{1}\right|
$$
$$
\left|f_{x}(x, y, z)\right| \leq 1,\left|f_{y}(x, y, z)\right| \leq 2,\left|f_{z}(x, y, z)\right| \leq 3
$$
证明：$\displaystyle \forall\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) \in D$ ，有
$$
\left|f\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)-f\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)\right| \leq\left|x_{2}-x_{1}\right|+2\left|y_{2}-y_{1}\right|+3\left|z_{2}-z_{1}\right|
$$
第10题
10．（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上只有可去间断点，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．