设 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow a} \displaystyle\frac{f(x)-a}{x-a}=b$ ，则 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow a} \displaystyle\frac{\sin f(x)-\sin a}{x-a}=$（ ）。
函数 $f(x)=\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{\displaystyle\frac{1}{x-1}} \ln |1+x|}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)(x-2)}$ 的第二类间断点的个数为（ ）。
设奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有连续导数，则（ ）。
设幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}(x-2)^{n}$ 的收敛区间为 $(-2,6)$ ，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x+1)^{2 n}$ 的收敛区间为（）
设4阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 不可逆，$a_{12}$ 的代数余子式 $A_{12} \neq 0, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组， $\boldsymbol{A}^{*}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则方程组 $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的通解为（ ）。
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量， $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 -1 的特征向量，则满足 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 为（ ）。
设 $A, B, C$ 为三个随机事件，且
$$
P（A）=P（B）=P（C）=\frac{1}{4}, P(A B)=0, P(A C)=P(B C)=\frac{1}{12},
$$
则 $A, B, C$ 中恰有一个事件发生的概率为（）。
设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布 $N\left(0,0 ; 1,4 ;-\displaystyle\frac{1}{2}\right)$ ，则下列随机变量中服从标准正态分布且与 $X$ 相互独立的是（ ）．
设 $z=\arctan [x y+\sin (x+y)]$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0, \pi)}=$ $\_\_\_\_$ ．
设某厂家生产某产品的产量为 $Q$ ，成本 $C(Q)=100+13 Q$ ，该产品的单价为 $p$ ，需求量 $Q(p)=\displaystyle\frac{800}{p+3}-2$ ，则该厂家获得最大利润时的产量为 $\_\_\_\_$ ．
设平面区域 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \displaystyle\frac{x}{2} \leqslant y \leqslant \displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}\right., 0 \leqslant x \leqslant 1\right\}$ ，则 $D$ 绕 $y$ 轴旋转所成的旋转体的体积为 $\_\_\_\_$ ．
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}a & 0 & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 & -1 \\ -1 & 1 & a & 0 \\ 1 & -1 & 0 & a\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}=\displaystyle\frac{1}{2^{k}}(k=1,2,3, \cdots), Y$ 表示 $X$ 被 3 除的余数，则 $E(Y)=$ $\_\_\_\$
已知 $a, b$ 为常数，若 $\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^{n}-\mathrm{e}$ 与 $\displaystyle\frac{b}{n^{a}}$ 在 $n \rightarrow \infty$ 时是等价无穷小，求 $a, b$ ．
设函数 $y=f(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=0$ ，且 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=-1$ ． （I）求 $f(x)$ 的表达式； （II）设 $a_{n}=\displaystyle\int_{n \pi}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 。
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, y \geqslant 0\right\}$ ，连续函数 $f(x, y)$ 满足 $f(x, y)=y \sqrt{1-x^{2}}+ x \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，求 $\iint_{D} x f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上具有连续导数，$f(0)=f(2)=0, M=\max _{x \in[0,2]}\{|f(x)|\}$ ，证明： （ I ）存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \geqslant M$ ； （II）若对任意的 $x \in(0,2),\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ，则 $M=0$ ．
设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{2}^{2}$ 经正交变换 $\binom{x_{1}}{x_{2}}=\boldsymbol{Q}\binom{y_{1}}{y_{2}}$ 化为二次型 $g\left(y_{1}, y_{2}\right)=a y_{1}^{2}+4 y_{1} y_{2}+b y_{2}^{2}$ ，其中 $a \geqslant b$ ． （I）求 $a, b$ 的值； （II）求正交矩阵 $Q$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶矩阵， $\boldsymbol{P}=(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha})$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}$ 是非零向量且不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量． （I）证明： $\boldsymbol{P}$ 为可逆矩阵； （II）若 $\boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}-6 \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ ，求 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ ，并判断 $\boldsymbol{A}$ 是否相似于对角矩阵．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid 0\lt y\lt\sqrt{1-x^{2}}\right\}$ 上服从均匀分布，令
$$
Z_{1}=\left\{\begin{array}{ll}
1, & X-Y\gt 0, \\
0, & X-Y \leqslant 0,
\end{array} \quad Z_{2}= \begin{cases}1, & X+Y\gt 0 \\
0, & X+Y \leqslant 0\end{cases}\right.
$$
（I）求二维随机变量 $\left(Z_{1}, Z_{2}\right)$ 的概率分布；
（II）求 $Z_{1}$ 与 $Z_{2}$ 的相关系数。
设某元件的使用寿命 $T$ 的分布函数为
$$
F(t)= \begin{cases}1-\mathrm{e}^{-\left(\frac{t}{\theta}\right)^{m}}, & t \geqslant 0, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $\theta, m$ 为参数且大于零。
（I）求概率 $P\{T\gt t\}$ 与 $P\{T\gt s+t \mid T\gt s\}$ ，其中 $s\gt 0, t\gt 0$ ；
（II）任取 $n$ 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 $t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{n}$ ，若 $m$ 已知，求 $\theta$的最大似然估计值 $\hat{\theta}$ ．