边缘概率密度（连续型）

### 【基础篇】第1题（填空题） 1．设 $X$ 是连续型随机变量，$C$ 是常数，则随机变量 $Y=X+C$ 的分布函数间断点个数为 $\_\_\_\_$。

### 【基础篇】第10题（解答题） 10．已知二维随机变量 $(X, Y)$ 在以点 $(0,0),(1,-1),(1,1)$ 为顶点的三角形区域上服从均匀分布． （1）求边缘概率密度 $f_{X}(x), f_{Y}(y)$ 及条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y), f_{Y \mid X}(y \mid x)$ ，并判断 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立； （2）计算概率 $\displaystyle P\left\{\left.X>\frac{1}{2} \right\rvert\, Y>0\right\}, P\left\{\left.X>\frac{1}{2} \right\rvert\, Y=\frac{1}{4}\right\}$ ．

### 【强化篇】第11题（解答题） 11．设 $X, Y$ 独立同分布于标准正态分布 $N(0,1)$ ，记 $Z= \begin{cases}X, & X Y>0, \\ 0, & X Y=0, \\ -X, & X Y<0 .\end{cases}$ （1）证明 $Z$ 服从标准正态分布； （2）$(Y, Z)$ 是否服从二维正态分布？说明理由． ## 第6章 数理统计

### 【强化篇】第17题（选择题） 17．设连续型随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布，且其分布函数 $F(x)$ 为严格单调增加函数，若 $E(X)$存在，且 $E(|X-Y|)=1$ ，则 $X$ 与 $F(X)$ 的协方差为 $\quad$ ）。 （A） 0 （B）$\displaystyle \frac{1}{4}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ （D） 1

### 【强化篇】第6题（解答题） 6．设二维正态随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)$ ，已知条件概率密度 $\displaystyle f_{X \mid Y}(x \mid y)= A \mathrm{e}^{-\frac{2}{3}\left(x-\frac{y}{2}\right)^{2}}$ 和 $\displaystyle f_{Y \mid X}(y \mid x)=B \mathrm{e}^{-\frac{2}{3}\left(y-\frac{x}{2}\right)^{2}}$ 。求： （1）常数 $A$ 和 $B$ ； （2）边缘概率密度 $f_{X}(x)$ 和 $f_{Y}(y)$ ； （3）$f(x, y)$ ． ## 第5章 大数定律与中心极限定理

### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设二维随机变量 $(U, V)$ 在以点 $(-2,0),(2,0),(0,1),(0,-1)$ 为顶点的四边形区域 $D$ 上噉从均匀分布，令 $$ X=\left\{\begin{array}{ll} -1, & U \leqslant-1, \\ 1, & U>-1, $\displaystyle \end{array} Y= \begin{cases}-1, & V<\frac{1}{2} \\$ 1, & V>\frac{1}{2}\end{cases}\right. $$ （1）求 $(X, Y)$ 的分布律； （2）求 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ ； （3）求 $V$ 的边缘概率密度．