偏导数的定义及其计算法

### 第142题 设函数 $f(x, y)$ 在 $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处取极大值，且 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right|_{M_{0}}$ 与 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right|_{M_{0}}$ 存在，则 （A）$\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right|_{M_{0}} \geqslant 0,\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right|_{M_{0}} \geqslant 0$. （B）$\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right|_{M_{0}} \leqslant 0,\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right|_{M_{0}} \leqslant 0$. （C）$\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right|_{M_{0}} \geqslant 0,\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right|_{M_{0}} \leqslant 0$ ． （D）$\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right|_{M_{0}} \leqslant 0,\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right|_{M_{0}} \geqslant 0$ ．

### 第143题 设二元函数 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x \mathrm{e}^{x y}+y z^{2}=y z \sin x+z$ 所确定，则二阶偏导数 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\right|_{(x, y)=(0,0)}=$ （A）-1 ． （B） 0 ． （C） 1 ． （D） 2 ．

### 第205题 设 $z=f(x, y)$ 有连续偏导数，证明：存在可微函数 $g(u)$ ，使得 $f(x, y)=g(a x+ b y)(a b \neq 0)$ 的充要条件是 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle b \frac{\partial z}{\partial x}=a \frac{\partial z}{\partial y}$ ． 建设荅题时间 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$ 管题区或 s）䅺 뚤siㄹ

### 第209题 设 $z=f(2 x-y)+g(x, x y)$ ，其中 $f(t)$ 二阶可导，$g(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．

### 第212题 设 $x, y, z \geqslant 0, x+y+z=\pi$ ，求函数 $f(x, y, z)=2 \cos x+3 \cos y+4 \cos z$ 的最大值和最小值．

### 第213题 已知 $u=u(x, y)$ 满足方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=0$ ，试确定参数 $a$ 和 $b$ ，使原方程在变换 $u=v(x, y) \mathrm{e}^{a x+b y}$ 下不出现一阶偏导数项．

### 第51题 已知 $\displaystyle z=\left(x^{2} \sin y^{5}+x^{3}\right)\left(2 x^{3}+\tan y^{4}\right) x^{\frac{y^{3}}{x^{3}}+e^{x^{5} y^{6}}},\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第61题 设 $u=f(x, y, z), z=z(x, y)$ 是由方程 $\varphi(x+y, z)=1$ 所确定的隐函数，其中 $f$ 和 $\varphi$ 有二阶连续偏导数且 $\varphi_{2}^{\prime} \neq 0$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第62题 设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $z=f(x+y+z)$ 所确定的隐函数，其中 $f$ 二阶可微，$f^{\prime} \neq$ 1 ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．