矩阵的定义

### 第418题 418 已知二次型 $x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+8 x_{2} x_{3}$ ，在下列矩阵运算中，得到二次型的是 （A） $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ -3 & 3 & 2 \\ -2 & 6 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$ ． （B） $\boldsymbol{x}^{T}\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ -2 & 5 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right] \boldsymbol{x}$ ． （C） $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 4 \\ -2 & 4 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$ ． （D） $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 4 \\ -2 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$ ．

### 第420题 420 下列二次型经正交变换标准形不是 $y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ 的是 （A） $3 x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{3}$ ． （B）$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}$ ． （C） $2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}$ ． （D）$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{2} x_{3}$ ．

### 第421题 421 二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}-2 x_{2} x_{3}$ 的规范形是 （A）$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$ ． （B）$z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$ ． （C）$z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$ ． （D）$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}$ ．

### 第422题 422 已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}-4 x_{2} x_{3}$ 的规范形是 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，则 $a$的取值为 （A）$(-2,2)$ ． （B） 2 ． （C）$(2,+\infty)$ ． （D）$(-\infty,-2)$ ．

### 第424题 424 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ ，若 $\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}$ 正定，则 $k$ 的取值范围是 （A）$k=1$ ． （B）$k>1$ ． （C）$k \geqslant 1$ ． （D）$k \leqslant 1$ ．

### 第425题 425 与矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]$ 合同的矩阵是 （A）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 0\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & -1 & \\ & & 0\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & -1\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{lll}-1 & & \\ & -1 & \\ & & 0\end{array}\right]$ ．

### 第8题 8．设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ ，三阶矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 为三阶单位矩阵，矩阵 $\boldsymbol{B}=$ $\_\_\_\_$。