📝 西安交通大学 2023年强基真题

设集合 $\displaystyle X$ 有 $\displaystyle m$ 个元素，集合 $\displaystyle Y$ 有 $\displaystyle n$ 个元素，求集合 $\displaystyle X \times Y$ 有多少子集，并说明理由。

（1）证明：$\displaystyle (A \cap B) \times(C \cap D)=(A \times C) \cap(B \times D)$ ； （2）$\displaystyle (A \cup B) \times(C \cup D)=(A \times C) \cup(B \times D)$ 一定成立吗？并说明理由。

记 $\displaystyle R=\left\{(x, y) \mid x+y=6, x, y \in \mathbb{N}^{*}\right\}, S=\left\{(x, y) \mid x y+x=30, x, y \in \mathbb{N}^{*}\right\}$ （1）若 $\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\}$ ，求 $\displaystyle S_{(A)}^{-1}$ ； （2）求 $\displaystyle R^{-1}$ 与 $\displaystyle S \circ R$ 。

设 $\displaystyle X, Y, Z, W$ 为四个非空集合，$\displaystyle R$ 为 $\displaystyle X$ 到 $\displaystyle Y$ 的一种关系，$\displaystyle S$ 为 $\displaystyle Y$ 到 $\displaystyle Z$ 的一种关系，$\displaystyle T$ 为 $\displaystyle Z$ 到 $\displaystyle W$ 的一种关系．证明： （1）$\displaystyle \left(R^{-1}\right)^{-1}=R$ ； （2）$\displaystyle (R \circ S)^{-1}=S^{-1} \circ R^{-1}$ ； （3）$\displaystyle R \circ(S \circ T)=(R \circ S) \circ T$ 。

记 $\displaystyle \Omega=\{R \subseteq X \times X \mid \forall S \subseteq X \times X(R \circ S=S \circ R)\}$ 证明：$\displaystyle \Omega=\{\emptyset, \Delta\}$ ，其中 $\displaystyle \Delta=\{(x, x) \mid x \in X\}$ 。