📝 上海理工大学 2024年数学分析真题

1． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \frac{1+x}{1-x}}{\arctan (1+x)-\arctan (1-x)}$

2． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right)}-x$

3．已知 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=\frac{1}{1+x_{n}}$ ，证明 $\displaystyle x_{n}$ 收玫，并求出 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x_{n}$ ．

4．$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}} & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0 & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$, 判断 $\displaystyle f(x, y)$ 的连续性和可微性．

5．$\displaystyle F(t)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d V$ ，求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$

6． $\displaystyle \int_{0}^{\pi} e^{x} \cos ^{2} x d x$

7．$\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\alpha}{1+\alpha^{2} x^{2}} d x$ 证明 $\displaystyle I(\alpha)$ 在 $\displaystyle [\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上一致收敛，在 $\displaystyle (0, \mathrm{~b}]$ 上不一致收敛。

8．已知 $\displaystyle \sum a_{n}$ 收玫，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} k a_{k}}{n}=0$ ．

9．求 $\displaystyle \frac{x}{1 \cdot 2}+\frac{x}{2 \cdot 3}+\frac{x}{3 \cdot 4}+\cdots$ 的收敛区间和和函数．

10．证明曲面 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a}$ 的切平面与各轴所截的线段长度之和为常量．

11．证明有理数 $\displaystyle R(x)=\frac{a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}}{b_{0}+b_{1} x+\cdots+b_{n} x^{n}}$ 一定存在足够大的 $\displaystyle x_{0}$ 使得 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle \left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$和 $\displaystyle \left[\frac{1}{2},+\infty\right)$ 分别单调．

12．已知 $\displaystyle f(x)$ 二阶可导，$\displaystyle f(x) \leq \frac{1}{2}[f(x-h)+f(x+h)]$ ，证明 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ ．

13．根据函数的性质（定义域，值域，单调性，凹凸性，渐近线，极值）等画出函数 $\displaystyle y=e^{x-x^{2}}$的图像．

14．求 $\displaystyle \iint_{L} y(x-z) d y d z+x^{2} d x d z+x(z-y) d x d y$ ，且 $\displaystyle L: 0 \leq y \leq a, 0 \leq z \leq a, 0 \leq x \leq a$所围成的曲线．