📝 上海理工大学 2024年高等代数真题

2．求 $E-B A$ 的逆．

1．求 $A$ 的特征值及对应的特征向量．

2．写出 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的表达式．

3．求正交变换 $X=Q Y$ 化 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为标准型．

1．证明 $U, W$ 为 $V$ 上的子空间．

2．求 $U$ 和 $W$ 的基和维数．

3．证明：$V=U \oplus W$ ．

六、已知 $V$ 是数域 $P$ 上由对称矩阵的加法和数乘构成的线性空间，且 $\displaystyle U=\{A \in V \mid \operatorname{tr}(A)=0\}, W=\{\lambda E \mid \lambda \in P\}$
1．证明 $\displaystyle U, W$ 为 $V$ 上的子空间．
2．求 $U$ 和 $W$ 的基和维数．
3．证明：$\displaystyle V=U \oplus W$ ．

四、二次型 $\displaystyle f(x)=X^{\prime} A X$ 的矩阵 $A$ 的 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=3$ ，且满足

$$
A\left[\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
-1 & 2 \\
2 & 2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
2 & -2 \\
-1 & -4 \\
2 & -4
\end{array}\right]
$$
1．求 $A$ 的特征值及对应的特征向量．
2．写出 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的表达式．
3．求正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 化 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为标准型．