📝 东北大学 2026年高等代数真题
第0题
1．（15 分）计算：$D_{n}=\left|\begin{array}{cccrr}2 & & & & 2 \\ -1 & 2 & & & 2 \\ & -1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 2 & 2 \\ & & & -1 & 2\end{array}\right|$（用两种方法）．
第0题
2．（15 分）设方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+\lambda x_{2}+\mu x_{3}+1=0 \\ 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=0 \\ 3 x_{3}+(2+\lambda) x_{2}+(4+\mu) x_{3}+4 x_{4}=1\end{array}\right.$ ，其中 $(1,-1,1,-1)^{\prime}$ 为方程组的解。
（1）求该方程组的通解．
（2）求符合 $x_{2}=x_{3}$ 的所有解。
3 ．（15 分）（1）求 $x^{4}+x^{2}+1=0$ 的所有复根．
（2）设 $\left(f_{1}(x), f_{2}(x)\right)$ 是次数不超过3的首一互异多项式，且 $\left(x^{4}+x^{2}+1\right) \mid f_{1}\left(x^{3}\right)+x^{4} f_{2}\left(x^{3}\right)$ ，求 $\left(f_{1}(x), f_{2}(x)\right)$ 。
（1）求该方程组的通解．
（2）求符合 $x_{2}=x_{3}$ 的所有解。
3 ．（15 分）（1）求 $x^{4}+x^{2}+1=0$ 的所有复根．
（2）设 $\left(f_{1}(x), f_{2}(x)\right)$ 是次数不超过3的首一互异多项式，且 $\left(x^{4}+x^{2}+1\right) \mid f_{1}\left(x^{3}\right)+x^{4} f_{2}\left(x^{3}\right)$ ，求 $\left(f_{1}(x), f_{2}(x)\right)$ 。
第0题
4．（15 分）（1）设 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是 $V$ 的一个基，线性变换 $\mathscr{A}$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵为
$$
\left[\begin{array}{ccc}
0 & 3 & -1 \\
1 & -2 & 2 \\
4 & 1 & -1
\end{array}\right]
$$
求 $\mathscr{A}\left(2 \varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}+5 \varepsilon_{3}\right)$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的坐标．
（2）设 $\alpha$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 中的非零向量， $\mathscr{A}^{n-1} \alpha \neq 0, \mathscr{A}^{n} \alpha=0$ 。证明：$\alpha, \mathscr{A}^{n} \alpha \cdot \mathscr{A}^{n-1} \alpha$构成 $V$ 的一个基。
$$
\left[\begin{array}{ccc}
0 & 3 & -1 \\
1 & -2 & 2 \\
4 & 1 & -1
\end{array}\right]
$$
求 $\mathscr{A}\left(2 \varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}+5 \varepsilon_{3}\right)$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的坐标．
（2）设 $\alpha$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 中的非零向量， $\mathscr{A}^{n-1} \alpha \neq 0, \mathscr{A}^{n} \alpha=0$ 。证明：$\alpha, \mathscr{A}^{n} \alpha \cdot \mathscr{A}^{n-1} \alpha$构成 $V$ 的一个基。
第0题
5．（15 分）设 $U=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ 为欧式空间，其中 $\alpha_{1}=(1,1,2,1)^{\prime}, \alpha_{2}=(1,0,0,-2)^{\prime}$ ，定义 $U$上的内积为 $\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)=\alpha_{1}{ }^{\prime} \alpha_{2}$ ．求 $\operatorname{dim} U^{\perp}$ 和 $U^{\perp}$ 的一个标准正交基．
第0题
6．（15分）设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为 $V$ 的一个基，线性变换 $\mathscr{A}$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵为
$$
\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 2 & 1 \\
-1 & 2 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 5 & 5 \\
2 & -2 & 1 & -2
\end{array}\right]
$$
求 $\operatorname{ker} \mathscr{A}, \operatorname{Im} \mathscr{A}$ 。
$$
\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 2 & 1 \\
-1 & 2 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 5 & 5 \\
2 & -2 & 1 & -2
\end{array}\right]
$$
求 $\operatorname{ker} \mathscr{A}, \operatorname{Im} \mathscr{A}$ 。
第0题
7．（15 分）设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)(n \geq 3)$ ．
（1）证明：$A^{n}=A^{n-2}+A^{2}-E$ ．
（2）证明：$A^{100}-E$ 不是零矩阵。
（1）证明：$A^{n}=A^{n-2}+A^{2}-E$ ．
（2）证明：$A^{100}-E$ 不是零矩阵。
第0题
8．（15 分）设 $A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right],|A|=1$ 。证明：
（1）当 $|a+d|>2$ 时，则 $A$ 与 $\displaystyle \left[\begin{array}{cc}\lambda & 0 \\ 0 & \frac{1}{\lambda}\end{array}\right]$ 相似 $(\lambda \neq \pm 1,0$ 且 $\lambda \in \mathbb{R})$ ．
（2）当 $|a+d|=2$ 时，则 $A= \pm\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ 或相似于 $\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ 或 $\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 0 & -1\end{array}\right]$ ．
（3）当 $|a+d|<2$ 时，证明：存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)$ ，并求 $P$ ．
（1）当 $|a+d|>2$ 时，则 $A$ 与 $\displaystyle \left[\begin{array}{cc}\lambda & 0 \\ 0 & \frac{1}{\lambda}\end{array}\right]$ 相似 $(\lambda \neq \pm 1,0$ 且 $\lambda \in \mathbb{R})$ ．
（2）当 $|a+d|=2$ 时，则 $A= \pm\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ 或相似于 $\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ 或 $\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 0 & -1\end{array}\right]$ ．
（3）当 $|a+d|<2$ 时，证明：存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)$ ，并求 $P$ ．
第0题
9．（15分）设 $\alpha_{1}, \alpha_{2} \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一个基，线性变换 $\mathscr{A}$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2} \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵为
$$
\left[\begin{array}{cccc}
a & 1 & & \\
& a & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
& & & a
\end{array}\right]
$$
（1）设 $\alpha_{n}$ 为 $\mathscr{A}$ —子空间 $W$ 的一个向量，证明：$W=V$ ．
（2）证明：$\alpha_{1}$ 属于所有非零的 $\mathscr{A}-$ 子空间．
（3）证明：$V$ 不能表示为两个非平凡的不变子空间的直和．
$$
\left[\begin{array}{cccc}
a & 1 & & \\
& a & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
& & & a
\end{array}\right]
$$
（1）设 $\alpha_{n}$ 为 $\mathscr{A}$ —子空间 $W$ 的一个向量，证明：$W=V$ ．
（2）证明：$\alpha_{1}$ 属于所有非零的 $\mathscr{A}-$ 子空间．
（3）证明：$V$ 不能表示为两个非平凡的不变子空间的直和．
第0题
10．（15分）设 $A, B$ 都为 $n$ 阶方阵。
（1）证明：$A B, B A$ 有相同的特征值．
（2）证明：不存在矩阵 $A, B$ ，使得 $A^{2}=A B+B^{2}$ ．
（1）证明：$A B, B A$ 有相同的特征值．
（2）证明：不存在矩阵 $A, B$ ，使得 $A^{2}=A B+B^{2}$ ．