📝 东北师范大学 2023年高等代数真题
第1题
1．计算下列行列式
$$
\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\
x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{n}^{2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
x_{1}^{n-2} & x_{2}^{n-2} & \cdots & x_{n}^{n-2} \\
x_{1}^{n} & x_{2}^{n} & \cdots & x_{n}^{n}
\end{array}\right|
$$
$$
\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\
x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{n}^{2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
x_{1}^{n-2} & x_{2}^{n-2} & \cdots & x_{n}^{n-2} \\
x_{1}^{n} & x_{2}^{n} & \cdots & x_{n}^{n}
\end{array}\right|
$$
第2题
2．设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$ ，已知线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 有解但不唯一．
（1）求 $a$ 的值．
（2）求一个正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{\prime} A Q$ 为对角矩阵．
（1）求 $a$ 的值．
（2）求一个正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{\prime} A Q$ 为对角矩阵．
第3题
3．设 $\displaystyle f(x)$ 是有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的一个 $m$ 次多项式，$n$ 是大于 $m$ 的正整数，证明：$\displaystyle \sqrt[n]{2}$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的实根．
第4题
4．证明：秩等于 $r$ 的矩阵可以表示为 $r$ 个秩等于 1 的矩阵之和，但不能表示为少于 $r$ 个秩等于 1 的矩阵之和。
第5题
5．设 $A$ 是 $n$ 阶实满秩矩阵，证明：存在正交矩阵 $\displaystyle P_{1}, P_{2}$ 使得
$$
P_{1}^{-1} A P_{2}=\left(\begin{array}{llll}
\lambda_{1} & & & \\
& \lambda_{2} & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_{n}
\end{array}\right)
$$
其中 $\displaystyle \lambda_{i}>0(i=1,2, \cdots, n)$ ．
$$
P_{1}^{-1} A P_{2}=\left(\begin{array}{llll}
\lambda_{1} & & & \\
& \lambda_{2} & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_{n}
\end{array}\right)
$$
其中 $\displaystyle \lambda_{i}>0(i=1,2, \cdots, n)$ ．
第6题
6．设 $V$ 是欧氏空间，$W$ 是 $V$ 的子空间，$V$ 中的向量 $\displaystyle \alpha$ 不在 $W$ 中，问是否存在 $\displaystyle \alpha_{0} \in W$ ，使得 $\displaystyle \alpha-\alpha_{0}$ 与 $W$ 中任意向量都正交？如果不存在，举出例子；如果存在，说明理由并讨论其唯一性．
第7题
7．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \varphi$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \varphi$ 的特征多项式为
$$
f(x)=\left(x-\lambda_{1}\right)^{m_{1}}\left(x-\lambda_{2}\right)^{m_{2}}, \lambda_{1} \neq \lambda_{2}
$$
其中 $\displaystyle m_{1}+m_{2}=n$ ．
（1）证明： $\displaystyle \operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{1} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{1}}$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间，其中 $\displaystyle \mathscr{E}$ 是恒等变换．
（2）证明：$\displaystyle V=\operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{1} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{1}} \oplus \operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{2} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{2}}$ ．
$$
f(x)=\left(x-\lambda_{1}\right)^{m_{1}}\left(x-\lambda_{2}\right)^{m_{2}}, \lambda_{1} \neq \lambda_{2}
$$
其中 $\displaystyle m_{1}+m_{2}=n$ ．
（1）证明： $\displaystyle \operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{1} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{1}}$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间，其中 $\displaystyle \mathscr{E}$ 是恒等变换．
（2）证明：$\displaystyle V=\operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{1} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{1}} \oplus \operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{2} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{2}}$ ．
第8题
8．在直角坐标系下，已知一点 $\displaystyle M_{0}(1,2,0)$ 和一条直线 $\displaystyle L:\left\{\begin{array}{l}x-y-z+2=0 ; \\ 2 x-3 y+3=0 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle M_{0}$ 到 $L$ 的距离，并写出过 $\displaystyle M_{0}$ 且与 $L$ 垂直相交的直线方程．
第9题
9．设函数 $\displaystyle f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, f(M)=A x+B y+C z+D$ ，其中 $\displaystyle A, B, C, D$ 是不全为零的实数，$\displaystyle M(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}$ ，证明：如果三点 $\displaystyle M_{0}, M_{1}, M_{2}$ 共线，且 $\displaystyle \vec{M}_{1} \vec{M}_{0}=\lambda \overrightarrow{M_{0} M_{2}}, \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq-1$ ，那么
$$
f\left(M_{0}\right)=\frac{f\left(M_{1}\right)+\lambda f\left(M_{2}\right)}{1+\lambda}
$$
$$
f\left(M_{0}\right)=\frac{f\left(M_{1}\right)+\lambda f\left(M_{2}\right)}{1+\lambda}
$$
第10题
10．证明双曲抛物面同族的任意两条直母线必是异面直线，且同族的整体 直母线平行于同一个平面