📝 东南大学 2022年数学分析真题

一、求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(\arctan n+\sin n)^{\frac{1}{n}}$ ．

七、设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上的可积函数列，且一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x
$$

三、求 $\displaystyle 2 x-y=1$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的交线上的点到原点的最近距离．

二、求曲面积分

$$
I=\iint_{\Sigma} \frac{(z+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y+1) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(x+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
$$

其中 $\displaystyle \Sigma: \sqrt{9-x^{2}-y^{2}}$ ，取下侧．

五、设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数，满足： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=\lambda>1$ ，证明：此时交错级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收玫．

六、设在区间 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上，函数上 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(x)$ 单调递增，证明：$\displaystyle F(x)=\frac{f(x)}{x}$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上单调递增．

四、判断 $\displaystyle f(y)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \left(x^{2} y\right)}{x} \mathrm{~d} x$ 在 $\displaystyle y \in[0,+\infty)$ 中的一致收敛性．