📝 东南大学 2025年数学分析真题
第1题
1、在空间曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y+z=0 \\ x^{2}+y^{2}=z^{2}\end{array}\right.$ 上找一点，使得该点处的切线平行于平面 $\displaystyle \mathbf{x}+\mathbf{2} \mathbf{y}=\mathbf{0}$.
第2题
2、若 $\displaystyle f(x, y, z), \varphi(x, y, z)$ 均连续可微，且 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程
$$
f(x, y, z)-\int_{y}^{-\sqrt{x^{2}+y^{2}}} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t-\varphi(x, y, z)=0
$$
确定，求 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．
$$
f(x, y, z)-\int_{y}^{-\sqrt{x^{2}+y^{2}}} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t-\varphi(x, y, z)=0
$$
确定，求 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．
第3题
3、求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n^{2}(x-1)^{n}$ 的收玫域与和函数．
第4题
4、求函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x \ln 2}-\frac{1}{2^{x}-1}, x \neq 0 \\ \frac{1}{2}, x=0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle x=0$ 的导数．
第5题
5、设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，且 $\displaystyle f(x) \neq 0$ ．
证明：至少存在一个 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，满足 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\xi)}{f(\xi)}=\frac{1}{a-\xi}+\frac{1}{b-\xi}$ ．
证明：至少存在一个 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，满足 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\xi)}{f(\xi)}=\frac{1}{a-\xi}+\frac{1}{b-\xi}$ ．
第6题
6、求 $\displaystyle \oint_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中 $L$ 是 $\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=r^{2},(r \neq 1)$ ，取正向．
第7题
7、求 $\displaystyle f(x, y, z)=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z$ 在条件 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 下的最值．
第8题
8、求 $\displaystyle \iiint_{\Omega}|x y| z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是由
$$
x+z=1, x-z=1, x+y=1, x-y=1, z=0
$$
围成的区域。
$$
x+z=1, x-z=1, x+y=1, x-y=1, z=0
$$
围成的区域。
第9题
9、设 $\displaystyle I(y)=\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos (2 x y) \mathrm{d} x$ ，证明：
（1）$\displaystyle I^{\prime}(y)+2 y I(y)=0$
（2）求 $\displaystyle I(y)$ ．
（1）$\displaystyle I^{\prime}(y)+2 y I(y)=0$
（2）求 $\displaystyle I(y)$ ．
第10题
10、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0
$$
证明：$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0
$$
证明：$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
第11题
11、求曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} z \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+z^{2}=2 a z,(a>0)$ 被曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所截取的部分．
第12题
12、记作 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{\ln \left(1+n^{\alpha} x\right)}{n^{\beta}},(x>0, \alpha, \beta>0)$ ．
（1）讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的玫散性．
（2）在 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 收玫的基础上，论其一致收敛性．
（3）讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的可导性．
（1）讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的玫散性．
（2）在 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 收玫的基础上，论其一致收敛性．
（3）讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的可导性．
第13题
13、设 $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 为连续函数，$f$ 无不动点，记
$$
f_{n}(x)=\underbrace{f \circ f \circ f \circ \cdots \circ f(x)}_{n \uparrow} .
$$
为 $\displaystyle f(x)$ 的 $n$ 次复合，数列 $\displaystyle \left[f_{n}(x)\right]$ 是否有界？
$$
f_{n}(x)=\underbrace{f \circ f \circ f \circ \cdots \circ f(x)}_{n \uparrow} .
$$
为 $\displaystyle f(x)$ 的 $n$ 次复合，数列 $\displaystyle \left[f_{n}(x)\right]$ 是否有界？