📝 中国地质大学(武汉) 2026年数学分析真题

一、已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (a, b)$ 上单调递增，证明对于任意的 $\displaystyle x_{0} \in(a, b), \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)$与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)$ 均存在且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x) \geqslant f\left(x_{0}\right) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)$ ．

七、计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \frac{e^{-x y}-1}{y^{2}} d x}{\ln (1+x)}$ ．

三、将函数 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}1, & x>0 \\ 0, & x=0 \text { 在区间 }[-\pi, \pi) \text { 上按傅里叶展开，并计算 } \\ -1, & x<0\end{cases}$

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}
$$

九、设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=1, f(x) \geqslant 0, x \in R$ ，且 $\displaystyle f_{\varepsilon}(x)=\frac{1}{\varepsilon} f\left(\frac{\pi}{\varepsilon}\right)$ ，记 $\displaystyle \varphi(x)$是一有界非负函数，证明： $\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) f_{\varepsilon}(x) d x=\varphi(0)$ ．

二、已知 $\displaystyle p(x)=1-x+\frac{x^{2}}{2}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{n}}{n}$ ，证明若 $n$ 为奇数时无根，$n$ 为偶数时仅有一根．

五、已知 $\displaystyle F(r)=\int_{0}^{2 \pi} e^{r \cos \theta} \cos (r \sin \theta) d \theta$ ，证明：$\displaystyle F(r) \equiv r$ ．

八、计算由 $\displaystyle z=3\left(x^{2}+y^{2}\right), z=x^{2}+y^{2}, 2 x=y, x=2 y, x y=1, x y=2$ 围成的体积．

六、已知函数 $\displaystyle u=u(x, y, z)$ 满足 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}+u}+\frac{y^{2}}{b^{2}+u}+\frac{z^{2}}{c^{2}+u}=1$ ，证明：

$$
\left(u_{x}+u_{y}+u_{z}\right)^{2}=x u_{x}+y u_{x}+z u_{z} .
$$

十、设函数 $\displaystyle f(u)$ 在区间 $\displaystyle [A, B]$ 上连续，$\displaystyle u=\varphi(t)$ 在区间 $\displaystyle (a, b)$ 上可积，当 $\displaystyle t \in(a, b)$ 时， $\displaystyle A \leqslant \varphi(t) \leqslant B$ ，证明：$\displaystyle f(\varphi(t))$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可积．

四、判断下列级数的敛散性：
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}$ ；
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} \sin \frac{\pi}{3^{n}}$ ；
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{n} \frac{(n!)^{2}}{2 n!}$ ．