📝 北京工业大学 2015年数学分析真题
第0题
七．（15 分）求函数 $\displaystyle u=\left(2 a x-x^{2}\right)\left(2 b y-y^{2}\right),(a b \neq 0)$ 的极值。
第0题
九．（15 分）设 $\displaystyle F(t)=\iiint_{V} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}, f$ 是问微姠数，求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ 。
第0题
二．（15 分）求数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{3}} \sqrt{n^{2}-k^{2}}$ 。
三（15分）证明奇数次多项式
$$
P(x)=a_{0} x^{2 n+1}+a_{1} x^{2 n}+\cdots+a_{2 n+1}
$$
至少存在一个实根，其中 $\displaystyle a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{2 n+1}$ 都是常数，且 $\displaystyle a_{0} \neq 0$ 。
三（15分）证明奇数次多项式
$$
P(x)=a_{0} x^{2 n+1}+a_{1} x^{2 n}+\cdots+a_{2 n+1}
$$
至少存在一个实根，其中 $\displaystyle a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{2 n+1}$ 都是常数，且 $\displaystyle a_{0} \neq 0$ 。
第0题
五．（15 分）求函数 $\displaystyle f(x)=-2 x^{3}+3 x^{2}+6 x-1$ 在区问 $\displaystyle [-2,2]$ 上的最小值与最大值。
∴（15 分）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$ 的和函数。
∴（15 分）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$ 的和函数。
第0题
八．（15 分）求曲线 $\displaystyle \left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)^{2}+\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right)^{2}=1\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1} \neq 0\right)$ 所围区域的而积。
第0题
十．（15 分）计算 $\displaystyle \oint_{c} x y^{2} d y-x^{2} y d x$ ，其中 $C$ 是圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leq a^{2}$ ，取正向。
第0题
四．（15 分）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且存在 $\displaystyle b \in R$ ，使得 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=b$ ，则向数 $\displaystyle f(x)$ 位 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续。