📝 北京工业大学 2022年高等代数真题
第0题
一．把复数域上的矩阵
$$
J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}
a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \\
a_{n-1} & a_{0} & a_{1} & \cdots & a_{n-3} & a_{n-2} \\
a_{n-2} & a_{n-1} & a_{0} & \cdots & a_{n-4} & a_{n-3} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{0} & a_{1} \\
a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n-1} & a_{0}
\end{array}\right)
$$
称为 $n$ 阶循环矩阵．
（1）证明 $\displaystyle V=\left\{J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right) \mid a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1} \in \mathbb{C}\right\}$ 是线性空间，并求其维数和一组基；
（2）求 $\displaystyle J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right)$ 的特征值及行列式 $\displaystyle \left|J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right)\right|$ ．
$$
J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}
a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \\
a_{n-1} & a_{0} & a_{1} & \cdots & a_{n-3} & a_{n-2} \\
a_{n-2} & a_{n-1} & a_{0} & \cdots & a_{n-4} & a_{n-3} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{0} & a_{1} \\
a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n-1} & a_{0}
\end{array}\right)
$$
称为 $n$ 阶循环矩阵．
（1）证明 $\displaystyle V=\left\{J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right) \mid a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1} \in \mathbb{C}\right\}$ 是线性空间，并求其维数和一组基；
（2）求 $\displaystyle J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right)$ 的特征值及行列式 $\displaystyle \left|J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right)\right|$ ．
第0题
七．已知 $\displaystyle \sigma$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的正交变换，且 $\displaystyle \sigma^{m}=\mathrm{id}_{V}$ ，其中 $\displaystyle m>1$ 为正整数， $\displaystyle \mathrm{id}_{V}$ 为 $V$ 上的恒等变换．
（1）证明 $\displaystyle V_{\sigma}=\{u \in V \mid \sigma(u)=u\}$ 为 $V$ 的子空间，并称其为 $V$ 的不动子空间；
（2）对任意的 $\displaystyle u \in V$ ，其在 $\displaystyle V_{\sigma}$ 上的正交投影为 $\displaystyle \bar{u}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}(u)$ ；
（3）证明 $\displaystyle V_{\sigma}$ 的维数等于 $\displaystyle \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}$ 的迹．
## （第三、四、六题回忆数据可能不准，11月份之前会根据官方修订真题）
（1）证明 $\displaystyle V_{\sigma}=\{u \in V \mid \sigma(u)=u\}$ 为 $V$ 的子空间，并称其为 $V$ 的不动子空间；
（2）对任意的 $\displaystyle u \in V$ ，其在 $\displaystyle V_{\sigma}$ 上的正交投影为 $\displaystyle \bar{u}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}(u)$ ；
（3）证明 $\displaystyle V_{\sigma}$ 的维数等于 $\displaystyle \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}$ 的迹．
## （第三、四、六题回忆数据可能不准，11月份之前会根据官方修订真题）
第0题
三．设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实反称矩阵．证明：
（1）$\displaystyle A-B^{2}$ 是正定矩阵；
（2）$\displaystyle T=(E-B)(E+B)^{-1}$ 为正交矩阵；
（3）-1 不是 $T$ 的特征值．
（1）$\displaystyle A-B^{2}$ 是正定矩阵；
（2）$\displaystyle T=(E-B)(E+B)^{-1}$ 为正交矩阵；
（3）-1 不是 $T$ 的特征值．
第0题
二．设 $\displaystyle A, B$ 为复数域上的 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle A=\alpha^{T} \beta, A=A B-B A$ ，其中 $\displaystyle \alpha, \beta$ 为 $n$ 维非零列向量．
（1）证明 $\displaystyle A^{2}=O$ ；
（2）证明 $A$ 与 $\displaystyle E_{12}$ 相似，其中 $\displaystyle E_{12}$ 表示第一行第二列元素为 1 ，其余元素为 0 的 $n$ 阶方阵．
（1）证明 $\displaystyle A^{2}=O$ ；
（2）证明 $A$ 与 $\displaystyle E_{12}$ 相似，其中 $\displaystyle E_{12}$ 表示第一行第二列元素为 1 ，其余元素为 0 的 $n$ 阶方阵．
第0题
五．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的不可逆且非零的线性变换，$A$ 为 $\displaystyle \sigma$ 在某组基下的矩阵．证明：
（1）存在 $\displaystyle m>1$ ，使得 $\displaystyle V=\operatorname{Im} \sigma^{m} \oplus \operatorname{Ker} \sigma^{m}$ ；
（2）$A$ 相似于 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}B & O \\ O & C\end{array}\right)$ ，其中 $B$ 为可逆矩阵，$C$ 为幂零矩阵．
（1）存在 $\displaystyle m>1$ ，使得 $\displaystyle V=\operatorname{Im} \sigma^{m} \oplus \operatorname{Ker} \sigma^{m}$ ；
（2）$A$ 相似于 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}B & O \\ O & C\end{array}\right)$ ，其中 $B$ 为可逆矩阵，$C$ 为幂零矩阵．
第0题
六．设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$B$ 为 $n$ 阶正定矩阵．证明：
（1）$\displaystyle A^{2}+B$ 也为正定矩阵；
（2）$\displaystyle \left|2022 E_{n}-B^{2}\right| \geq 2022^{n}$ ，当且仅当 $\displaystyle B=O$ 时等号成立．
（1）$\displaystyle A^{2}+B$ 也为正定矩阵；
（2）$\displaystyle \left|2022 E_{n}-B^{2}\right| \geq 2022^{n}$ ，当且仅当 $\displaystyle B=O$ 时等号成立．
第0题
四．已知线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
(n-1) x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=(1-n) a \\
2 x_{1}+(n-2) x_{2}+\cdots+2 x_{n}=a \\
\cdots \cdots \\
n x_{1}+n x_{2}+\cdots+(n-1) x_{n}=a
\end{array}\right.
$$
当 $a$ 为何值时，方程组有无穷多个解？并写出其通解．
$$
\left\{\begin{array}{c}
(n-1) x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=(1-n) a \\
2 x_{1}+(n-2) x_{2}+\cdots+2 x_{n}=a \\
\cdots \cdots \\
n x_{1}+n x_{2}+\cdots+(n-1) x_{n}=a
\end{array}\right.
$$
当 $a$ 为何值时，方程组有无穷多个解？并写出其通解．