📝 华南理工大学 2023年高等代数真题
第0题
一．设 $\displaystyle f_{i}(x) \in \mathbb{P}[x], i=1,2, \cdots, n$ ，求证 $\displaystyle \sum_{i=0}^{n} x^{i} \mid \sum_{k=1}^{n} x^{n-k} f_{k}\left(x^{n+1}\right)$ 的充要条件为 $\displaystyle x-1 \mid f_{i}(x), i= 1,2, \cdots, n$.
第0题
七．在 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中，$\displaystyle \gamma$ 是非零向量，定义 $V$ 中线性变换
$$
W_{0}=\{x \mid(x, \gamma)=0, x \in V\} . \quad A x=x-\frac{2(x, \gamma)}{(\gamma, \gamma)} \gamma, \forall x \in V .
$$
（1）证明 $\displaystyle W_{0}$ 是 $A$ 的不变子空间，并求 $\displaystyle W_{0}$ 的维数．
（2）若 $W$ 是 $A$ 的不变子空间，证明：$\displaystyle \gamma \in W$ 或 $\displaystyle W \subset W_{0}$ ．
$$
W_{0}=\{x \mid(x, \gamma)=0, x \in V\} . \quad A x=x-\frac{2(x, \gamma)}{(\gamma, \gamma)} \gamma, \forall x \in V .
$$
（1）证明 $\displaystyle W_{0}$ 是 $A$ 的不变子空间，并求 $\displaystyle W_{0}$ 的维数．
（2）若 $W$ 是 $A$ 的不变子空间，证明：$\displaystyle \gamma \in W$ 或 $\displaystyle W \subset W_{0}$ ．
第0题
三．当 $\displaystyle \lambda, \mu$ 为何值时，线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 \\
x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}+5 x_{4}=2 \\
0-x_{2}+(\lambda-3) x_{3}-2 x_{4}=\mu \\
x_{1}+2 x_{2}+\lambda x_{3}+x_{4}=0 .
\end{array}\right.
$$
无解？有唯一解？有无穷多解？并求出有无穷多解时的特解．
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 \\
x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}+5 x_{4}=2 \\
0-x_{2}+(\lambda-3) x_{3}-2 x_{4}=\mu \\
x_{1}+2 x_{2}+\lambda x_{3}+x_{4}=0 .
\end{array}\right.
$$
无解？有唯一解？有无穷多解？并求出有无穷多解时的特解．
第0题
二．若 $n$ 是奇数，证明行列式 $\displaystyle D \neq 0$ ．
$$
D=\left|\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
2^{2} & 3^{2} & 4^{2} & \cdots & n^{2} & (n+1)^{2} \\
3^{3} & 4^{3} & 5^{3} & \cdots & (n+1)^{3} & (n+1)^{3} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
(n-1)^{n-1} & n^{n-1} & (n+1)^{n-1} & \cdots & (n+1)^{n-1} & (n+1)^{n+1} \\
n^{n} & (n+1)^{n} & (n+1)^{n} & \cdots & (n+1)^{n} & (n+1)^{n}
\end{array}\right| .
$$
$$
D=\left|\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
2^{2} & 3^{2} & 4^{2} & \cdots & n^{2} & (n+1)^{2} \\
3^{3} & 4^{3} & 5^{3} & \cdots & (n+1)^{3} & (n+1)^{3} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
(n-1)^{n-1} & n^{n-1} & (n+1)^{n-1} & \cdots & (n+1)^{n-1} & (n+1)^{n+1} \\
n^{n} & (n+1)^{n} & (n+1)^{n} & \cdots & (n+1)^{n} & (n+1)^{n}
\end{array}\right| .
$$
第0题
八．$\displaystyle A, B$ 均为正交矩阵，$\displaystyle |A|=-1,|B|=1$ ．
（1）证明 -1 为 $A$ 的特征值；
（2）证明：$\displaystyle |A+B|=0$ ．
（1）证明 -1 为 $A$ 的特征值；
（2）证明：$\displaystyle |A+B|=0$ ．
第0题
六．$\displaystyle f(x) \in \mathbb{P}[x], x_{1}, x_{2} \in \mathbb{P}$ 是二次多项式 $\displaystyle f(x)$ 的两个不同根，对数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的线性空间 $V$ 上的非数乘线性变换 $A$ 有 $\displaystyle f(A)=0$ 。
（1）证明：$\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 是 $A$ 的特征值；
（2）证明：$\displaystyle V=V_{x_{1}} \oplus V_{x_{2}}$ ．
（1）证明：$\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 是 $A$ 的特征值；
（2）证明：$\displaystyle V=V_{x_{1}} \oplus V_{x_{2}}$ ．
第0题
四．$A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实可逆矩阵，二次型 $\displaystyle f(X)$ 的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & B^{T} \\ B & 0\end{array}\right)$ ．
（1）证明：$\displaystyle B^{T} A^{-1} B$ 是正定矩阵；
（2）求 $f$ 的正负惯性指数。
五。 $V$ 是有限维实线性空间，$A$ 是 $V$ 上的线性变换存在复数 $\displaystyle a+b i(b \neq 0)$ 对 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle f(x)$有 $\displaystyle f(a+b i)=0$ ，证明：$V$ 上存在二维了空间 $W$ ，使得 $\displaystyle A(W) \subset W$ ．
（1）证明：$\displaystyle B^{T} A^{-1} B$ 是正定矩阵；
（2）求 $f$ 的正负惯性指数。
五。 $V$ 是有限维实线性空间，$A$ 是 $V$ 上的线性变换存在复数 $\displaystyle a+b i(b \neq 0)$ 对 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle f(x)$有 $\displaystyle f(a+b i)=0$ ，证明：$V$ 上存在二维了空间 $W$ ，使得 $\displaystyle A(W) \subset W$ ．