📝 华南理工大学 2024年数学分析真题

1．（13 分）已知 $\displaystyle a, b>0$ ，且 $\displaystyle c=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{4}{\ln (1+x)}-\frac{4}{x}\right)$ ，定义函数

$$
f(x)= \begin{cases}\frac{\sin (a x)}{x}, & x<0 \\ c, & x=0 \\ (1+b x)^{\frac{1}{x}}, & x>0\end{cases}
$$

若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内处处连续，求常数 $\displaystyle a, b$ 和 $c$ ．

2．（13 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得

$$
f(\xi)+f^{\prime}(\xi)=\frac{\mathrm{e}^{b} f(b)-\mathrm{e}^{a} f(a)}{\mathrm{e}^{b}-\mathrm{e}^{a}}
$$

3．（13 分）证明函数

$$
f(x, y)= \begin{cases}x y \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
$$

在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在，但是偏导数在点 $\displaystyle (0,0)$ 不连续，而 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$可微。

4．（13 分）将方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ 变换为极坐标形式．

5．（14 分）计算曲线积分 $\displaystyle \int_{L} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ ，其中 $L$ 是曲线

$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1, \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, a>0, b>0, c>0 \text { 常数 }
$$

从点 $\displaystyle (a, 0,0)$ 到 $\displaystyle (0,0, c)$ ．

6．（14 分）证明：黎曼 zeta 函数 $\displaystyle \zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上连续且无穷次可微。

7．（14 分）解答如下问题：
（1）用定义证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin n$ 不存在．
（2）证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 极限存在，其中

$$
x_{n}=\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right)=\prod_{k=1}^{n}\left(1-\frac{1}{(k+1)^{2}}\right), n=1,2, \cdots
$$

并求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．

8．（14 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-r, x_{0}+r\right)$ 上无穷次可导（其中 $\displaystyle r \in(0,+\infty)$ ），且存在常数 $\displaystyle M>0$ ，使得

$$
\left|f^{(n)}(x)\right| \leq M \frac{n!}{r^{n}}, \forall x \in\left(x_{0}-r, x_{0}+r\right), \forall n=0,1,2, \cdots .
$$

（1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点的 Taylor 级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-r, x_{0}+r\right)$上逐点收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．
（2）证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-r, x_{0}+r\right)$ 上内闭一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．

9．（14 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，证明：

$$
\lim _{\lambda \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \cos (\lambda x) \mathrm{d} x=0
$$

10．（14 分）证明 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x y}{x} \mathrm{~d} x$ 关于 $y$ 在 $\displaystyle \left[y_{0},+\infty\right)\left(y_{0}>0\right)$ 上一致收敛，但在 $\displaystyle (0,+\infty)$上非一致收敛。

11．（14 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上分段连续，即存在 $\displaystyle [a, b]$ 的一个有限分割 $\displaystyle a=x_{0}<x_{1}< x_{2}<\cdots<x_{n}=b$（其中 $n$ 为固定整数），使得 $\displaystyle f(x)$ 在每个区间 $\displaystyle \left(x_{i-1}, x_{i}\right)$ 上连续且分点 $\displaystyle x_{i}$ 处都存在左右极限．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积．