📝 南京信息工程大学 2022年数学分析真题

1．求函数极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t\right)^{x}$

2．定积分 $\int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x(a>0)$

3．证明：$\displaystyle f(x)=\cos \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上非一致连续，但在 $(a,+\infty), a>0$ 上一致连续。

4．判断是否正确
（1）若函数 $f(x)$ 在有限区间 $[a, b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上存在原函数。
（2）若 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的两个累次极限都存在且相等，则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的重极限也存在

5．讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\arctan n}{\sqrt{n}}$ 的敛散性，若收敛，判断绝对收敛或条件收敛。

6．求 $f(x, y)=2 x^{2}+3 x y+2 y^{2}$ 在约束条件 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 下的最值。

7．计算 $=$ 重积分 $\displaystyle \iint_{D} \frac{1+x^{2021} y^{2022}}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}} d x d y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, y \geqslant 0\right\}$
（ 10 分）设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足条件：$\displaystyle x_{n}>0, x_{n}+\frac{1}{4 x_{n+1}}<1\left(n \in \mathbb{Z}^{+}\right)$，
证明：$\left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限值。

六．计算曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x+y\left(x y+\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\right) d y$ ，其中 $L$ 为曲线 $\displaystyle y=\sin x, 0 \leqslant x \leqslant \pi$ 按 $x$ 增大方向。

絮 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=0, f^{\prime}(a) \cdot f^{\prime}(b)>0$ ，证明：（1）存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=0$
（2）方程 $\displaystyle f^{\prime}(x)+f(x)=0$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上存在两个实根。

入．设 立为锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 介于 $\displaystyle z=1, z=2$ 之间的外侧表面，求曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} x^{3} d y d z+y^{3} d x d z+z^{3} d x d y$ ．