📝 南京师范大学 2011年数学分析真题
第0题
一．计算下列各题（30 分）
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} x^{\frac{1}{1-x}}$
（2）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e-(1+x)^{\frac{1}{x}}}{x}$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处可导，求 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h^{4}\right)-f\left(x_{0}\right)}{1-\cos \left(h^{2}\right)}$ ．
（4） $\displaystyle \int\left(\ln \ln x+\frac{1}{\ln x}\right) d x$ ．
（5）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{x}^{x+2010} \sin t^{2} d t$
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} x^{\frac{1}{1-x}}$
（2）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e-(1+x)^{\frac{1}{x}}}{x}$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处可导，求 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h^{4}\right)-f\left(x_{0}\right)}{1-\cos \left(h^{2}\right)}$ ．
（4） $\displaystyle \int\left(\ln \ln x+\frac{1}{\ln x}\right) d x$ ．
（5）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{x}^{x+2010} \sin t^{2} d t$
第0题
七、（15 分）计算反常积分 $\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} \frac{\sin x}{x} d x,(\alpha>0)$ 。并由此计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x$ 之值．
第0题
三．设函数 $f$ 连续，$\displaystyle f^{\prime}(0)$ 存在，且对任何 $\displaystyle x, y$ 都有 $\displaystyle f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-4 f(x) f(y)}$ ，证明：
（1）$f$ 可导；（2）若 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 。（15分）
（1）$f$ 可导；（2）若 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 。（15分）
第0题
九、（15 分）设 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}, \sigma_{n}=\frac{S_{0}+S_{1}+\cdots+S_{n-1}}{n}$ ．
证明：（1）．若 $\displaystyle \left\{\sigma_{n}\right\}$ 收敛；则 $\displaystyle \sigma_{n}=o(n)$ ，（当 $\displaystyle n \rightarrow \infty$ 时）．
（2）．若 $\displaystyle \left\{\sigma_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle (-1,+1)$ 内绝对收敛，且
$$
f(x)=(1-x)^{2} \sum_{n=0}^{\infty}(n+1) \sigma_{n+1} x^{n}, x \in(-1,1)
$$
证明：（1）．若 $\displaystyle \left\{\sigma_{n}\right\}$ 收敛；则 $\displaystyle \sigma_{n}=o(n)$ ，（当 $\displaystyle n \rightarrow \infty$ 时）．
（2）．若 $\displaystyle \left\{\sigma_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle (-1,+1)$ 内绝对收敛，且
$$
f(x)=(1-x)^{2} \sum_{n=0}^{\infty}(n+1) \sigma_{n+1} x^{n}, x \in(-1,1)
$$
第0题
二．（1）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，试用极限定义证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots a_{n}}{n}=a$ ；
（2）举例说明上述结论反之不对，并对你的例子给出简要的说明。
（3）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots a_{n}}{n}=a$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[a_{n}-a_{n-1}\right]=0$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．（20 分）
（2）举例说明上述结论反之不对，并对你的例子给出简要的说明。
（3）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots a_{n}}{n}=a$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[a_{n}-a_{n-1}\right]=0$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．（20 分）
第0题
五．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f^{n}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内存在，试证明存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(b)+f(a)-2 f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{(b-a)^{2}}{4} f^{\prime \prime}(\xi) . \quad(15$ 分 $\displaystyle )$
（共 $\displaystyle \_\_\_\_$ 2页，第 $\displaystyle \_\_\_\_$页）
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第0题
八、（15 分）计算 $\displaystyle \iint_{S}(x+y-z) d y d z+(2 y+\cos (z-x)) d z d x+\left(3 z+e^{x-y}\right) d x d y$ 。其中 S 为曲面 $\displaystyle |x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 的表面并取外侧．
第0题
六．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上二次可微，且 $\displaystyle x \in[0,2]$ 时 $\displaystyle |f(x)| \leq 1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$ ．证明：
$$
\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 2, \quad x \in[0,2] \quad(10 \text { 分 })
$$
$$
\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 2, \quad x \in[0,2] \quad(10 \text { 分 })
$$
第0题
四．证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续可微，且无穷积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 与 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f^{\prime}(x) d x$ 均收玫，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(x)=0 .(15$ 分 $\displaystyle )$