📝 南京师范大学 2013年数学分析真题

1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x d x$ ，

2． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{n^{2}}\left(\tan \frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$ ．

1．$(0,1)$ ；

2．$(1,+\infty)$ ．

1．设正项然数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\forall k>0$ ，正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(k+\frac{1}{n^{2}}\right) u_{n}$ 发散，

2．证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 3^{n} \sin \frac{1}{5^{n} x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上收敛，但不⋯致收敛。

六、证明下列各题。（15分）
1．设正项然数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\displaystyle \forall k>0$ ，正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(k+\frac{1}{n^{2}}\right) u_{n}$ 发散，
2．证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 3^{n} \sin \frac{1}{5^{n} x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上收敛，但不⋯致收敛。

四、计算积分．（15 分）

$$
\iint_{S}(x+1) z^{2} d y d z+\left(x^{2} y-2\right) d z d x+\left(x y+y^{2} z\right) d x d y
$$

其中 $S$ 为球面 $\displaystyle z^{2}+x^{2}+y^{2}=3^{2}$ 的上半部并选取外侧。