📝 南京师范大学 2016年高等代数真题

一、（15 分）证明高斯（Gauss）引理：两个本原多项式的乘积还是本原多项式。

七、（25分）设 $A$ 为正定矩阵，1）证明对任意的正整数 $m$ ，存在正定矩阵 $B$ 使得 $\displaystyle A=B^{m} ; 2$ ）在 $A$ 的特征值两两不同的情形下证明：满足 $\displaystyle A=B^{m}$ 的正定矩阵 $B$ 是唯一确定的．

三、（15分）设矩阵 $\displaystyle A, C$ 分别为 $n$ 级和 $m$ 级可逆矩阵，$\displaystyle B, D$ 分别为 $\displaystyle n \times m$ 和 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明：

$$
|C| \cdot\left|A-B C^{-1} D\right|=|A| \cdot\left|C-D A^{-1} B\right| .
$$

二、（15 分）证明数域 $P$ 上的线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 有解的充要条件是 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}A^{\prime} y=0, \\ b^{\prime} y=1\end{array}\right.$ 无解，其中 $\displaystyle A \in P^{m \times n}, b \in P^{m}, A^{\prime}$ 和 $\displaystyle b^{\prime}$ 分别表示 $A$ 和 $b$ 的转置，$\displaystyle x \in P^{n}$ 和 $\displaystyle y \in P^{m}$ 是未知量．

五、（20分）已知 $\displaystyle s \times n$ 实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 的秩为 $r$ ，求如下二次型的正惯性指数．

$$
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{s}\left(a_{i 1} x_{1}+a_{i 2} x_{2}+\cdots+a_{i n} x_{n}\right)^{2}
$$

八、（25分）设 $A$ 为 $n$ 级实对称矩阵，记它的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n}$ 。设 $A$ 的属于 $\displaystyle \lambda_{1}$ 的一个特征向量为 $\displaystyle u_{1}$ ．证明： $\displaystyle \min _{\substack{x \neq 0 \\ x \perp u_{1}}} \frac{x^{\prime} A x}{x^{\prime} x}=\lambda_{2}$ ．

六、（20 分）设 $V$ 为一个有限维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle V=\mathscr{A} V \oplus \mathscr{A}^{-1}(0)$ 当且仅当

$$
\mathscr{A}^{2} V=\mathscr{A} V
$$

四、（15 分）设数域 $P$ 上的 $\displaystyle n(n \geq 2)$ 次多项式 $\displaystyle f(x)$ 没有单因式，证明：

$$
f^{\prime \prime}(x) \mid f(x) \text { 当且仅当 } f(x)=c(x-a)^{n} \text {, }
$$

其中 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 表示二阶导数，$\displaystyle a, c$ 是数域 $P$ 中的常数．