📝 哈尔滨工程大学 2011年高等代数真题

七、设 $A$ 为 阶方阵，证明矩阵方程 $\displaystyle A^{n+1} X=A^{n}$ 有解．

三、设 $\displaystyle V, W$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的线性空间， $\displaystyle \operatorname{dim} V=2, \operatorname{dim} W=3, \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 为 $V$ 的基，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 为
$W$ 的基，再设 $\displaystyle \sigma, \eta$ 分别为 $V$ 和 $W$ 的线性变换，且它们在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 和 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 下的矩阵分别为 $\displaystyle A, B$ ，令线性空间 $\displaystyle V \otimes W=\{(v, w) \mid v \in V, w \in W\}$ 为 $V$ 和 $W$ 的外直和．
$\displaystyle \left(v_{1}, w_{1}\right)+\left(v_{2}, w_{2}\right)=\left(v_{1}+v_{2}, w_{1}+w_{2}\right), k(v, w)=(k v, k w)$
$\displaystyle \phi: V \otimes W,(v, w) \rightarrow(\sigma(v), \eta(w))$.

二、设 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,1,1,0,1), \alpha_{2}=(2,1,-1,1,-3), \alpha_{3}=(3,2,-1,1,-2) \in \mathbb{R}^{5}$ ，视 $\displaystyle \mathbb{R}^{5}$ 为欧氏空间。再令 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 生成的子空间 $\displaystyle W=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ．
（1）求 $W$ 的正交补 $\displaystyle W^{\perp}$ ；
（2）求 $\displaystyle W^{\perp}$ 的一组标准正交基。

五、判别 $n$ 元实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}+x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+\cdots+x_{n-1} x_{n}$ 是否正定．

八、设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间，若 $\displaystyle \operatorname{dim} \sigma(V)+\operatorname{dim} \tau(V)<n$ ，求证：$\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个相同的特征值和特征向量．

六、若 $\displaystyle \alpha$ 为 $n$ 维欧氏空间的非零向量，子空间 $\displaystyle P_{\alpha}=\{\xi \in V \mid(\xi, \alpha)=0\}$ 为垂直于 $\displaystyle \alpha$ 的超平面，若 $\displaystyle (\gamma, \alpha)(\eta, \alpha)>0$ ，则称向量 $\displaystyle \gamma, \eta$ 位于超平面 $\displaystyle P_{\alpha}$ 的同侧，若向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{m}$ 位于超平面 $\displaystyle P_{\alpha}$的同侧，且它们相互夹角 $\displaystyle >\frac{\pi}{2}$ ，求证这组向量线性无关．

四、设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & y & 2\end{array}\right)$ ．
（1）求 $A$ 可对角化的条件；
（2）当 $\displaystyle x=1, y=0$ 时，求 $A$ 的约当标准形 $J$ 和可逆矩阵 $P$ ，使 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ．

1．包含 $\displaystyle \sqrt[3]{2}$ 的最小数域视为有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的线性空间，其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

2．若实多项式 $\displaystyle f(x)$ 的次数 $\displaystyle \geq 1$ ，则三次多项式 $\displaystyle \_\_\_\_$整除 $\displaystyle f\left(x^{3}\right)-f(1)$ ．

3．行列式 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1+a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\ a_{1} & 1+a_{2} & \cdots & a_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1} & a_{2} & \cdots & 1+a_{n}\end{array}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

4．若 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle A, B=A+B$ ，则 $\displaystyle A B-B A=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

5．若 $\displaystyle S=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle V=\left\{X \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \mid S X=X S\right\}$ 作为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间的维数为
$\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6．若 $\displaystyle n(n \geq 3)$ 阶方阵 $A$ 的行列式为 1 ，则 $\displaystyle \left(A^{*}\right)^{*}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

7．对于矩阵 $\displaystyle A, B$ ，齐次线性方程组 $\displaystyle (A B) X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解的充要条件为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

8．若 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 秩为 1 ，则 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

9．矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5\end{array}\right)$ 的约当标准形为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

10．$n$ 阶实对称矩阵按合同可分为 $\displaystyle \_\_\_\_$类．