📝 山西师范大学 2025年数学分析真题

1、 $\forall \varepsilon>0$ ，若 $f(x)$ 在 $[a+\varepsilon, b-\varepsilon]$ 一致连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 一致连续．

2、函数 $f(x)$ 在有限区间 $[a, u]$ 可积 且 $\int_{a}^{+\infty}|f(x)| d x$ 收玫，则 $\int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收玫．

3、 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 偏导数存在且相等，则 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续．

二、（10 分）求 $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} d x d y$ ，区域 $\displaystyle D:|x| \leq 1,0 \leq y \leq 1$ ．
1、 $\displaystyle \forall \varepsilon>0$ ，若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a+\varepsilon, b-\varepsilon]$ 一致连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 一致连续．
2、函数 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle [a, u]$ 可积 且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty}|f(x)| d x$ 收玫，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收玫．
3、 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 偏导数存在且相等，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续．

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle 0 \leq f^{\prime}(x) \leq f(x), f(0)=0$ ，证明：在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．

八、（20 分）设连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，而 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$
上连续，证明：$\displaystyle \left\{g\left(\left|f_{n}(x)\right|\right)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致鈫于 $\displaystyle g(|f(x)|)$ ．

六、（15 分）证明函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}0, \quad x=0 \\ \frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right], x \in(0,1]\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积．

四、（15 分）用 $\displaystyle \varepsilon-\delta$ 语言证明：若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f\left(\frac{1}{x}\right)$ 存在，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1} f\left(\frac{1}{x}\right)$ ．