📝 广西民族大学 2008年高等代数真题

一（15 分）、若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 不全为零，且 $\displaystyle u(x) f(x)+v(x) g(x)=(f(x), g(x))$ ，则 $\displaystyle (u(x), v(x))=1$

七（20分）、设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是四维线性空间 $V$ 的一组基，已知线性变换 $f$ 在这组基下的矩阵为

$$
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 2 & 1 \\
-1 & 2 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 5 & 5 \\
2 & 2 & 1 & -2
\end{array}\right)
$$

求
（1）线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}, \eta_{2}=3 \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}-\varepsilon_{4}, \eta_{3}=\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \eta_{4}=2 \varepsilon_{4}$ 下的矩阵
（2）求线性变换 f 的核和值域

三（20 分）、求解方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}(a+3) x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=a \\ a x_{1}+(a-1) x_{2}+x_{3}=2 a \\ 3(a+1) x_{1}+a x_{2}+(a+3) x_{3}=3\end{array}\right.$

九（20 分）、设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle f, g$ 是 $V$ 上的线性变换，且 $f$ 有 $n$ 个互异的特征根，证明 $\displaystyle \mathrm{fg}=\mathrm{gf}$ 当且仅当 g 是 $\displaystyle \mathrm{f}^{0}=\mathrm{I}, \mathrm{f}, \mathrm{f}^{2}, \cdots, \mathrm{f}^{\mathrm{n}-1}$ 的线性组合

二（15 分）、计算 n 阶行列式 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccc}2 & 3 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 2\end{array}\right)$

五（15 分）、设 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=X^{\prime} A X$ 是一实二次型，若有实 $n$ 维向量 $\displaystyle X_{1}, X_{2}$ 使得 $\displaystyle \mathrm{X}_{1}^{\prime} \mathrm{AX}_{1}>0, \mathrm{X}_{2}^{\prime} \mathrm{AX}_{2}<0$ 。证明存在非零实 n 维向量 $\displaystyle \mathrm{X}_{3}$ 使得 $\displaystyle \mathrm{X}_{3}^{\prime} \mathrm{AX}_{3}=0$ 。

八（15 分）、设 $B$ 为一 $\displaystyle r \times r$ 矩阵，$C$ 为一 $\displaystyle r \times n$ 矩阵，且秩（ $C$ ）$\displaystyle =r$ ，证明：1）若 $\displaystyle B C=0$ ，则 $\displaystyle \mathrm{B}=0$ ；2）若 $\displaystyle \mathrm{BC}=\mathrm{C}$ ，则 $\displaystyle \mathrm{B}=\mathrm{E}$

六（15 分）、求由向量 $\displaystyle \alpha_{\mathrm{i}}$ 生成的子空间与由向量 $\displaystyle \beta_{\mathrm{i}}$ 生成的子空间的交的基和维数，设

$$
\left\{\begin{array}{l}
\alpha_{1}=(1,2,1,0) \\
\alpha_{2}=(-1,1,1,1)
\end{array},\left\{\begin{array}{l}
\beta_{1}=(2,-1,0,1) \\
\beta_{2}=(1,-1,3,7)
\end{array}\right.\right.
$$

四（15 分）、设向量 $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 线性表出，证明：表示法唯一的充分必要条件是 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{\mathrm{s}}$ 线性无关。