📝 广西民族大学 2010年数学分析真题
第0题
一、（20分，每小题 10 分）求下列极限：
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}}+\frac{4}{n^{3}}\right)^{n}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}-\cot x\right)$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}}+\frac{4}{n^{3}}\right)^{n}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}-\cot x\right)$ ．
第0题
七、（15 分）利用 Lagrange 乘数法，求解 $\displaystyle f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}$ 在 $\displaystyle x+y=1$ 条件下的极值。八、（15 分）若 $L$ 是平面 $\displaystyle x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma-5=0$ 上的闭曲线，它所包围区域的面积为 $A$ ，求：
$$
\mathfrak{N}\left|\begin{array}{ccc}
d x & d y & d z \\
\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\
x & y & z
\end{array}\right|, ~(\text { 其中 } L \text { 依正向进行 }) .
$$
$$
\mathfrak{N}\left|\begin{array}{ccc}
d x & d y & d z \\
\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\
x & y & z
\end{array}\right|, ~(\text { 其中 } L \text { 依正向进行 }) .
$$
第0题
三、（30分，每小题10分）计算下列积分
（1） $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} d x$（其中 $\displaystyle a>0$ ）。
（2）$\displaystyle I=\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y$ ，其中 $D$ 是以 $\displaystyle y=x, y=x+a, y=a$ 和 $\displaystyle y=3 a(a>0)$ 为边的平行四边形．
（3）$\displaystyle I=\iiint_{V} \ln \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) d x d y d z$ ，其中 $V$ 是椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1$ 。
（1） $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} d x$（其中 $\displaystyle a>0$ ）。
（2）$\displaystyle I=\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y$ ，其中 $D$ 是以 $\displaystyle y=x, y=x+a, y=a$ 和 $\displaystyle y=3 a(a>0)$ 为边的平行四边形．
（3）$\displaystyle I=\iiint_{V} \ln \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) d x d y d z$ ，其中 $V$ 是椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1$ 。
第0题
九、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导，但不是常数，且有 $\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ，则在 $\displaystyle [a, b]$上至少存在一点 $\displaystyle \mathbf{\xi}$ ，使得
$$
\left|f^{\prime}(\xi)\right|>\frac{4}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b} f(x) d x
$$
$$
\left|f^{\prime}(\xi)\right|>\frac{4}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b} f(x) d x
$$
第0题
二、（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微， $\displaystyle 0 \leq f^{\prime}(x) \leq f(x)$ 且 $\displaystyle f(0)=0$ ．证明：在 $\displaystyle [0,+\infty)$上 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ 。
第0题
五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k, 0<a<b$ ，证明：
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} d x=(f(0)-k) \ln \frac{b}{a}
$$
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} d x=(f(0)-k) \ln \frac{b}{a}
$$
第0题
六、（15 分）已知 $\displaystyle u=\arccos \sqrt{\frac{x}{y}}$ ，求二阶偏导数 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ 与 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}$ ，并给出二者相等的条件。
第0题
四、（15分）设 $\displaystyle p_{1}(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的 $k$ 次多项式，$\displaystyle p_{2}(x)$ 为 $\displaystyle [b, c]$ 上的 $k$ 次多项式，$\displaystyle p_{1}(x)$ 和 $\displaystyle p_{2}(x)$ 在点 $\displaystyle x=b$ 处连续，且一阶到 $r$ 阶导数均连续．证明必存在 $\displaystyle k-r-1$ 次多项式 $\displaystyle q(x)$ ，使得成立 $\displaystyle p_{2}(x)=p_{1}(x)+(x-b)^{r+1} q(x)$ 。