📝 广西民族大学 2012年高等代数真题
第0题
一、（ 20 分）设 $\displaystyle A, B$ 分别是 $\displaystyle n \times m$ 利 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，$\displaystyle I_{k}$ 是 $k$ 阶单位矩阵。
（1）证明：$\displaystyle \left|I_{n}-A B\right|=\left|I_{m}-B A\right|$ ；
（2）计算行列式：$\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}a_{1} b_{1} & 1+a_{1} b_{2} & \cdots & 1+a_{1} b_{n} \\ 1+a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & \cdots & 1+a_{2} b_{n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1+a_{n} b_{1} & 1+a_{n} b_{2} & \cdots & a_{n} b_{n}\end{array}\right|$ 。
（1）证明：$\displaystyle \left|I_{n}-A B\right|=\left|I_{m}-B A\right|$ ；
（2）计算行列式：$\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}a_{1} b_{1} & 1+a_{1} b_{2} & \cdots & 1+a_{1} b_{n} \\ 1+a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & \cdots & 1+a_{2} b_{n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1+a_{n} b_{1} & 1+a_{n} b_{2} & \cdots & a_{n} b_{n}\end{array}\right|$ 。
第0题
七、（20分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维向量空间 $V$ 的一个线性变换，$\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，证明：
（1）$\displaystyle \sigma^{-1}(0)=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ；
（2）$\displaystyle V=\sigma^{-1}(0) \oplus \sigma(V)$ ；
（3）如果 $\displaystyle \tau$ 是 $V$ 的线性变换，$\displaystyle \sigma^{-1}(0), \sigma(V)$ 都是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间，则有 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．
（1）$\displaystyle \sigma^{-1}(0)=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ；
（2）$\displaystyle V=\sigma^{-1}(0) \oplus \sigma(V)$ ；
（3）如果 $\displaystyle \tau$ 是 $V$ 的线性变换，$\displaystyle \sigma^{-1}(0), \sigma(V)$ 都是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间，则有 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．
第0题
三、（20分）设 $A$ 是 3 阶对称矩阵，且 $A$ 的各行元素之和都是 3 ，向量
$$
\alpha=(0,-1,1)^{T}, \beta=(-1,2,-1)^{T}
$$
是方程 $\displaystyle A x=0$ 的解。
（1）求矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征值和特征向量；
（2）求正交矩阵 $Q$ 和矩阵 $B$ ，使行 $\displaystyle Q^{T} B Q=A$ 。
$$
\alpha=(0,-1,1)^{T}, \beta=(-1,2,-1)^{T}
$$
是方程 $\displaystyle A x=0$ 的解。
（1）求矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征值和特征向量；
（2）求正交矩阵 $Q$ 和矩阵 $B$ ，使行 $\displaystyle Q^{T} B Q=A$ 。
第0题
二、（15分）设 $n$ 为正整数，$\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x)$ 都是多项式，并且
$$
x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x+1 \mid f_{1}\left(x^{n+1}\right)+x f_{2}\left(x^{n+1}\right)+\cdots+x^{n-1} f_{n}\left(x^{n+1}\right)
$$
证明：$\displaystyle (x-1)^{n} \mid f_{1}(x) f_{2}(x) \cdots f_{n}(x)$ ．
$$
x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x+1 \mid f_{1}\left(x^{n+1}\right)+x f_{2}\left(x^{n+1}\right)+\cdots+x^{n-1} f_{n}\left(x^{n+1}\right)
$$
证明：$\displaystyle (x-1)^{n} \mid f_{1}(x) f_{2}(x) \cdots f_{n}(x)$ ．
第0题
五、（15 分）已则 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 3 个四维欧氏空间 $\displaystyle \mathbf{R}^{4}$ 中线性无关的向量，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2} \in \mathbf{R}^{4}$ 且与 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$均正交，证明：$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 线性相关．
第0题
八、（20 分）设 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的最小多项式与特征多项式相同，求证 $\displaystyle \exists \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \alpha, \mathbf{A} \alpha, \mathbf{A}^{2} \alpha, \cdots, \mathbf{A}^{n-1} \alpha$ 是 $V$ 的一个基．
第0题
六、（20分）设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶方阵，且满足矩阵方程：$\displaystyle A X=X B$ ，若 $\displaystyle A, B$ 没有相同的特征值，证明该方程只有零解．
第0题
四、（20分）已知线性空间 $\displaystyle M_{2}(\mathrm{~K})$ 的线性变换
$$
\Psi(X)=B^{T} X-X^{T} B, \forall X \in M_{2}(\mathrm{~K}) \text {, 其中 } B=\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right)
$$
与线性子空间
$$
W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}
x_{11} & x_{12} \\
x_{21} & x_{22}
\end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0, x_{i j} \in \mathbf{K}\right\}
$$
（1）求 $W$ 的一个基；
（2）证明 $W$ 是 $\displaystyle \Psi$ 的不变子空间；
（3）将 $\displaystyle \Psi$ 看成 $W$ 上的线性变换，求 $W$ 在（1）的基下的矩阵。
$$
\Psi(X)=B^{T} X-X^{T} B, \forall X \in M_{2}(\mathrm{~K}) \text {, 其中 } B=\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right)
$$
与线性子空间
$$
W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}
x_{11} & x_{12} \\
x_{21} & x_{22}
\end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0, x_{i j} \in \mathbf{K}\right\}
$$
（1）求 $W$ 的一个基；
（2）证明 $W$ 是 $\displaystyle \Psi$ 的不变子空间；
（3）将 $\displaystyle \Psi$ 看成 $W$ 上的线性变换，求 $W$ 在（1）的基下的矩阵。