📝 广西民族大学 2014年数学分析真题
第0题
一、求下列极限（每小题 10 分，共 2 小题，共 20 分）
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{\sqrt{x+1}-1}$
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ln \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{\sqrt{x+1}-1}$
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ln \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]$ ．
第0题
七、（15 分）计算积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{3}}$ 的值，并证明它也等于数项级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n+1}$ 的和．
第0题
三、（15 分）设平面 $\displaystyle x+y+z=3$ 截三坐标轴于 $\displaystyle \mathbf{A , B , C}$ 三点， O 为坐标原点，$\displaystyle P(x, y, z)$ 为三角形 ABC上一点，以 OP 为对角线，三坐标平面为三面作一长方体，求最大体积．
第0题
九、（15 分）叙述函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 不一致收敛到函数 $\displaystyle f(x)$ 的分析定义，并用定义证明 $\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上不一致收敛．
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第0题
二、（10 分）求 $\displaystyle a, b$ 使下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处可导：$\displaystyle f(x)= \begin{cases}a x+b, & x \geq 0, \\ x^{2}+1, & x<0 .\end{cases}$
第0题
五、（15 分）证明：由方程 $\displaystyle a x+b y+c z=\phi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 所定的函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足方程
$$
(c y-b z) \frac{\partial z}{\partial x}+(a z-c x) \frac{\partial z}{\partial y}=b x-a y
$$
其中 $\displaystyle \phi(u)$ 是 $u$ 的可微函数， $\displaystyle \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ 为常数．
$$
(c y-b z) \frac{\partial z}{\partial x}+(a z-c x) \frac{\partial z}{\partial y}=b x-a y
$$
其中 $\displaystyle \phi(u)$ 是 $u$ 的可微函数， $\displaystyle \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ 为常数．
第0题
八、（15 分）计算 $\displaystyle \iint_{\Sigma} x^{2} d y d z+y^{2} d z d x+z^{2} d x d y$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为圆锥曲面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 被平面 $\displaystyle z=0, z=2$所截部分的外侧．
第0题
六、计算下列积分（每小题 10 分，共 3 小题，共 30 分）
（1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x} d x \quad(b>a>0)$ ；
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x} d x \quad(b>a>0)$ ；
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1$ ．
第0题
四、（15 分）证明函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在，但偏导数在 $\displaystyle (0,0)$ 不连续，而 $f$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．