📝 广西民族大学 2025年高等代数真题
第0题
一、（15 分）
假设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 不全为 0 ，证明：$\displaystyle (f(x), g(x))^{n}=\left(f(x)^{n}, g(x)^{n}\right)$ ．
假设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 不全为 0 ，证明：$\displaystyle (f(x), g(x))^{n}=\left(f(x)^{n}, g(x)^{n}\right)$ ．
第0题
七、（15 分）
设 $\displaystyle R^{2}$ 中的线性变换 $\displaystyle \sigma_{1}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 3\end{array}\right)$ ，线性变换 $\displaystyle \sigma_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(1,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,2)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}3 & 3 \\ 2 & 4\end{array}\right)$ ．
（1）求 $\displaystyle \sigma_{1}+\sigma_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(1,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,2)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵；
（2）求 $\displaystyle \sigma_{1} \sigma_{2}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵；
（3）设 $\displaystyle \xi=(3,3)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\displaystyle \sigma_{1}(\xi)$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1)^{\mathrm{T}}$ 下的坐标；
（4）求 $\displaystyle \sigma_{2}(\xi)$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(1,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,2)^{\mathrm{T}}$ 下的坐标．
设 $\displaystyle R^{2}$ 中的线性变换 $\displaystyle \sigma_{1}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 3\end{array}\right)$ ，线性变换 $\displaystyle \sigma_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(1,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,2)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}3 & 3 \\ 2 & 4\end{array}\right)$ ．
（1）求 $\displaystyle \sigma_{1}+\sigma_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(1,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,2)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵；
（2）求 $\displaystyle \sigma_{1} \sigma_{2}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵；
（3）设 $\displaystyle \xi=(3,3)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\displaystyle \sigma_{1}(\xi)$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1)^{\mathrm{T}}$ 下的坐标；
（4）求 $\displaystyle \sigma_{2}(\xi)$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(1,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,2)^{\mathrm{T}}$ 下的坐标．
第0题
三、（15 分）
已知齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=0, \tag{1}\\
2 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}=0, \\
x_{1}+x_{2}+a x_{3}=0,
\end{array}\right.
$$
和
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+b x_{2}+c x_{3}=0 \tag{2}\\
2 x_{1}+b^{2} x_{2}+(c+1) x_{3}=0
\end{array}\right.
$$
同解，求 $\displaystyle a, b, c$ 的值，同时求出方程组（2）的全部解．
已知齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=0, \tag{1}\\
2 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}=0, \\
x_{1}+x_{2}+a x_{3}=0,
\end{array}\right.
$$
和
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+b x_{2}+c x_{3}=0 \tag{2}\\
2 x_{1}+b^{2} x_{2}+(c+1) x_{3}=0
\end{array}\right.
$$
同解，求 $\displaystyle a, b, c$ 的值，同时求出方程组（2）的全部解．
第0题
九、（15 分）
（1）已知
$$
\alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right), \quad \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right), \quad \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right),
$$
是 $\displaystyle R^{3}$ 的一组基，将 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 转换为正交基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ ；若线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right),
$$
求 $\displaystyle \sigma$ 在正交基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 下的矩阵；
（2）设 $V$ 是有限维欧式空间，内积记为 $\displaystyle (\alpha, \beta)$ ，设 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个正交变换，记
$$
V_{1}=\{\alpha \mid \sigma(\alpha)=\alpha\}, \quad V_{2}=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\},
$$
$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $V$ 的子空间，证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
（1）已知
$$
\alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right), \quad \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right), \quad \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right),
$$
是 $\displaystyle R^{3}$ 的一组基，将 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 转换为正交基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ ；若线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right),
$$
求 $\displaystyle \sigma$ 在正交基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 下的矩阵；
（2）设 $V$ 是有限维欧式空间，内积记为 $\displaystyle (\alpha, \beta)$ ，设 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个正交变换，记
$$
V_{1}=\{\alpha \mid \sigma(\alpha)=\alpha\}, \quad V_{2}=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\},
$$
$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $V$ 的子空间，证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
第0题
二、（15 分）
计算 $n$ 阶行列式：$\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}x & a & a & \mathrm{~L} & a & a \\ -a & x & a & \mathrm{~L} & a & a \\ -a & -a & x & \mathrm{~L} & a & a \\ \mathrm{M} & \mathrm{M} & \mathrm{M} & 0 & \mathrm{M} & \mathrm{M} \\ -a & -a & -a & \mathrm{~L} & x & a \\ -a & -a & -a & \mathrm{~L} & -a & x\end{array}\right|$ ．
计算 $n$ 阶行列式：$\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}x & a & a & \mathrm{~L} & a & a \\ -a & x & a & \mathrm{~L} & a & a \\ -a & -a & x & \mathrm{~L} & a & a \\ \mathrm{M} & \mathrm{M} & \mathrm{M} & 0 & \mathrm{M} & \mathrm{M} \\ -a & -a & -a & \mathrm{~L} & x & a \\ -a & -a & -a & \mathrm{~L} & -a & x\end{array}\right|$ ．
第0题
五、（15 分）
已知二次曲面
$$
x^{2}+a y^{2}+z^{2}+2 b x y+2 x z+2 y z=4
$$
可以经过正交变换
$$
\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{l}
\xi \\
\eta \\
\zeta
\end{array}\right)
$$
化为椭圆柱面方程 $\displaystyle \eta^{2}+4 \zeta^{2}=4$ ，求 $\displaystyle a, b$ 的值和正交矩阵 $P$ ．
已知二次曲面
$$
x^{2}+a y^{2}+z^{2}+2 b x y+2 x z+2 y z=4
$$
可以经过正交变换
$$
\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{l}
\xi \\
\eta \\
\zeta
\end{array}\right)
$$
化为椭圆柱面方程 $\displaystyle \eta^{2}+4 \zeta^{2}=4$ ，求 $\displaystyle a, b$ 的值和正交矩阵 $P$ ．
第0题
八、（15 分）
设 $V$ 是全体实 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵所构成的实线性空间，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in V$ ，定义 $V$ 的变换
$$
\sigma x=A x, \quad \forall x \in V,
$$
（1）证明：变换 $\displaystyle \sigma$ 是线性的；
（2）证明：变换 $\displaystyle \sigma$ 可逆 ⇔ 矩阵 $A$ 可逆；
（3）当 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -2 & -4\end{array}\right)$ 时，求 $\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 和 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \sigma V$ 及它们的一组基．
设 $V$ 是全体实 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵所构成的实线性空间，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in V$ ，定义 $V$ 的变换
$$
\sigma x=A x, \quad \forall x \in V,
$$
（1）证明：变换 $\displaystyle \sigma$ 是线性的；
（2）证明：变换 $\displaystyle \sigma$ 可逆 ⇔ 矩阵 $A$ 可逆；
（3）当 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -2 & -4\end{array}\right)$ 时，求 $\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 和 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \sigma V$ 及它们的一组基．
第0题
六、（15 分）
设 $A$ 为 3 阶实对称矩阵，且满足 $\displaystyle A^{2}+2 A=O$ ，已知 $A$ 的秩 $\displaystyle =2$ ．
（1）求 $A$ 的全部特征值；
（2）当 $k$ 为何值时，矩阵 $\displaystyle A+k E$ 为正定矩阵，其中 $E$ 是 3 阶单位矩阵．
设 $A$ 为 3 阶实对称矩阵，且满足 $\displaystyle A^{2}+2 A=O$ ，已知 $A$ 的秩 $\displaystyle =2$ ．
（1）求 $A$ 的全部特征值；
（2）当 $k$ 为何值时，矩阵 $\displaystyle A+k E$ 为正定矩阵，其中 $E$ 是 3 阶单位矩阵．
第0题
十、（15 分）
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的秩 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=r$ ，证明：
（1）存在可逆矩阵 $B$ 和幂等矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle A=B C$ ；
（2）存在列满秩（列向量组线性无关）的矩阵 $E$ 和行满秩（行向量组线性无关）的矩阵 $F$ ，使得 $\displaystyle A=E F$ ．
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的秩 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=r$ ，证明：
（1）存在可逆矩阵 $B$ 和幂等矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle A=B C$ ；
（2）存在列满秩（列向量组线性无关）的矩阵 $E$ 和行满秩（行向量组线性无关）的矩阵 $F$ ，使得 $\displaystyle A=E F$ ．
第0题
四、（15 分）
设 $A$ 为 $n$ 阶非零实方阵，$\displaystyle A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，$\displaystyle A^{\mathrm{T}}$ 是 $A$ 的转置矩阵，当 $\displaystyle A^{\mathrm{T}}=A^{*}$ 时，
证明：$\displaystyle |A| \neq 0$ ．
设 $A$ 为 $n$ 阶非零实方阵，$\displaystyle A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，$\displaystyle A^{\mathrm{T}}$ 是 $A$ 的转置矩阵，当 $\displaystyle A^{\mathrm{T}}=A^{*}$ 时，
证明：$\displaystyle |A| \neq 0$ ．
第2题
2．考毕，须将试题和答卷放入试题袋内密封后加贴封条，并在封条与试卷袋骑缝处签名。