📝 湘潭大学 2024年数学分析真题

一．计算题．每题 10 分，共 30 分．
（1）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}$ ．
（2）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \mathrm{~d} x$ ．
（3）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\frac{1}{x}}$ ．

七．（15 分）将 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上傅里叶展开．

三．（15 分）设 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ 和拋物面 $\displaystyle 2 z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的区域，计算重积分

$$
\iiint_{\Omega}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$

二．计算题．每题 10 分，共 20 分．
（1）设 $\displaystyle y=\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}$ ，求 $\displaystyle \mathrm{d}^{2} y$ ．
（2）设 $\displaystyle I(y)=\int_{y}^{y^{2}} \frac{\cos x y}{x} \mathrm{~d} x$ ，求 $\displaystyle I^{\prime}(y)$ ．

五．（20 分）已知含参量积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} \sin x \mathrm{~d} x$ ．
（1）对于 $\displaystyle \alpha \geq \alpha_{0}>0$ ，讨论 $I$ 的一致收敛性．
（2）对于 $\displaystyle \alpha>0$ ，讨论 $I$ 的一致收敛性．

八．（20 分）设 $\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}, E(s)=\prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1-p_{n}^{s}}, s>1$ ，其中 $\displaystyle p_{n}$ 为第 $n$ 个质数。
（1）证明：$\displaystyle \zeta(s)$ 与 $\displaystyle E(s)$ 均收敛．
（2）证明：$\displaystyle \zeta(s)=E(s)$ ．

六．（15分）叙述 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)$ 存在且有限的柯西收敛准则并证明．

四．（15 分）已知 $\displaystyle \Sigma$ 为封闭曲面，$l$ 为固定向量，$n$ 为 $\displaystyle \Sigma$ 的外法向量，证明： $\displaystyle \iint_{\Sigma} \cos (n, l) \mathrm{d} S=0$ ．