📝 苏州大学 2023年数学分析真题
第1题
1．（20分）求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(5+\sin x)^{x}-5^{x}}{\tan ^{2} x}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(5+\sin x)^{x}-5^{x}}{\tan ^{2} x}$ ．
第2题
2．（10 分）设 $\displaystyle 0<x<\pi$ ，证明： $\displaystyle 0<\frac{1}{\ln \left(1+\frac{\sin x}{2}\right)}-\frac{2}{\sin x}<1$ ．
第3题
3．（10 分）试求 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}-x^{2}+y^{2}=0$ 所确定的隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ 的极值．
第4题
4．（10 分）求含参量积分 $\displaystyle I(a)=\int_{0}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2} x^{2}} \cos (a x) \mathrm{d} x$ ．
第5题
5．（15 分）求球体 $\displaystyle (x-2)^{2}+(y-2)^{2}+(z-2)^{2} \leq 12$ 在平面 $\displaystyle x+y+z=3$ 上方的球缺体积．
第6题
6．（15 分）设 $\displaystyle \alpha$ 为实数，讨论 $\displaystyle f(x)=x^{\alpha}$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上的一致连续性．
第7题
7．（15 分）设 $\displaystyle p>0$ ，讨论反常积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的收敛性与绝对收敛性．
第8题
8．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且存在正数 $\displaystyle \alpha$ ，使得 $\displaystyle f(x) \leq \alpha \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，证明：对任意的 $\displaystyle x \geq 0$ ，有 $\displaystyle f(x) \leq 0$.
第9题
9．（15 分）设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中一闭区域，$\displaystyle \Sigma$ 为其边界，且分段光滑，$\displaystyle u, v$ 有连续的二阶偏导数，证明：
$$
\iiint_{\Omega} v \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\Sigma} v \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$
其中 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}, \frac{\partial u}{\partial n}$ 为 $u$ 沿曲面 $\displaystyle \Sigma$ 外法线方向的方向导数，$\displaystyle \nabla u, \nabla v$ 为 $\displaystyle u, v$ 的梯度．
$$
\iiint_{\Omega} v \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\Sigma} v \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$
其中 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}, \frac{\partial u}{\partial n}$ 为 $u$ 沿曲面 $\displaystyle \Sigma$ 外法线方向的方向导数，$\displaystyle \nabla u, \nabla v$ 为 $\displaystyle u, v$ 的梯度．
第10题
10．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶连续可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0) \neq 0$ ．证明：对任意的 $\displaystyle x \in(0,1)$ ，存在 $\displaystyle \xi(x) \in(0, x)$ ，使得 $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=f(\xi(x)) x$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\xi(x)}{x}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ ．
第11题
11．（10 分）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是正项数列，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散．
（1）若 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+n a_{n}}$ 发散；
（2）举例说明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+n a_{n}}$ 可以收敛．
（1）若 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+n a_{n}}$ 发散；
（2）举例说明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+n a_{n}}$ 可以收敛．