设 $\alpha_{1}=x(\cos \sqrt{x}-1), \alpha_{2}=\sqrt{x} \ln (1+\sqrt[3]{x}), \alpha_{3}=\sqrt[3]{x+1}-1$ 。当 $x \rightarrow 0^{+}$时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2(x-1), & x\lt 1, \\ \ln x, & x \geqslant 1,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 的一个原函数是
反常积分（1） $\displaystyle\int_{-\infty}^{0} \displaystyle\frac{1}{x^{2}} \mathrm{e}^{\displaystyle\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x,(2) \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{x^{2}} \mathrm{e}^{\displaystyle\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x$ 的敛散性为（
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，其导函数的图形如图所示，则
设函数 $f_{i}(x)(i=1,2)$ 具有二阶连续导数，且 $f_{i}^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\lt 0(i=1,2)$ ．若两条曲线 $y=f_{i}(x) (i=1,2)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处具有公切线 $y=g(x)$ ，且在该点处曲线 $y=f_{1}(x)$ 的曲率大于曲线 $y=f_{2}(x)$ 的曲率，则在 $x_{0}$ 的某个邻域内，有（
已知函数 $f(x, y)=\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{x}}{x-y}$ ，则
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是可逆矩阵，且 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，则下列结论错误的是（
设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+2 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}+2 x_{1} x_{3}$ 的正、负惯性指数分别为 1,2 ，则
曲线 $y=\displaystyle\frac{x^{3}}{1+x^{2}}+\arctan \left(1+x^{2}\right)$ 的斜渐近线方程为 $\_\_\_\_$ ．
极限 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle\frac{1}{n^{2}}\left(\sin \displaystyle\frac{1}{n}+2 \sin \displaystyle\frac{2}{n}+\cdots+n \sin \displaystyle\frac{n}{n}\right)=$ $\_\_\_\_$。
已知函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，且 $f(x)=(x+1)^{2}+2 \displaystyle\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则当 $n \geqslant 2$ 时，$f^{(n)}(0) =$ $\_\_\_\_$。
已知动点 $P$ 在曲线 $y=x^{3}$ 上运动，记坐标原点与点 $P$ 间的距离为 $l$ ．若点 $P$ 的横坐标对时间的变化率为常数 $v_{0}$ ，则当点 $P$ 运动到点 $(1,1)$ 时，$l$ 对时间的变化率是 $\_\_\_\_$。
设矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}a & -1 & -1 \\ -1 & a & -1 \\ -1 & -1 & a\end{array}\right)$ 与矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ 等价，则 $a=$
求极限 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}(\cos 2 x+2 x \sin x)^{\displaystyle\frac{1}{x^{4}}}$ ．
设函数 $f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\left|t^{2}-x^{2}\right| \mathrm{d} t(x\gt 0)$ ，求 $f^{\prime}(x)$ ，并求 $f(x)$ 的最小值．
已知函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\left(x^{2}+y^{2}\right) z+\ln z+2(x+y+1)=0$ 确定，求 $z=z(x, y)$ 的极值。
设 $D$ 是由直线 $y=1, y=x, y=-x$ 围成的有界区域，计算二重积分 $\iint_{D} \displaystyle\frac{x^{2}-x y-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
已知 $y_{1}(x)=\mathrm{e}^{x}, y_{2}(x)=u(x) \mathrm{e}^{x}$ 是二阶微分方程 $(2 x-1) y^{\prime \prime}-(2 x+1) y^{\prime}+2 y=0$ 的两个解。若 $u(-1)=\mathrm{e}, u(0)=-1$ ，求 $u(x)$ ，并写出该微分方程的通解。
设 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{1-x^{2}}(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 与 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos ^{3} t \\ y=\sin ^{3} t\end{array}\left(0 \leqslant t \leqslant \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\right.$ 围成的平面区域，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。
已知函数 $f(x)$ 在 $\left[0, \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right]$ 上连续，在 $\left(0, \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)$ 内是函数 $\displaystyle\frac{\cos x}{2 x-3 \pi}$ 的一个原函数，且 $f(0)=0$ ． （I）求 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right]$ 上的平均值； （II）证明 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)$ 内存在唯一零点．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1-a \\ 1 & 0 & a \\ a+1 & 1 & a+1\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 2 a-2\end{array}\right)$ ，且方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 无解． （I）求 $a$ 的值； （II）求方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$ 的通解。
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ． （I）求 $\boldsymbol{A}^{99}$ ； （II）设3阶矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ 满足 $\boldsymbol{B}^{2}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ 。记 $\boldsymbol{B}^{100}=\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)$ ，将 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 分别表示为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 的线性组合。